Deux rayons parallèles et une lentille : la différence de marche se lit sur un plan d'onde

La stratégie. On contourne la lentille : $M$ et la direction $\overrightarrow{u}$ sont conjugués, et Malus dit que la différence de chemin optique se lit sur un plan d'onde, avant la lentille.

1) Le foyer secondaire. Les deux rayons sont parallèles entre eux : la lentille les fait converger en un même point du plan focal image, le foyer image secondaire associé à la direction $\overrightarrow{u}$. Le rayon parallèle passant par le centre optique, non dévié, le place à l'abscisse $x_M=f^{\prime }\tan \theta \approx f^{\prime }\theta$.

2) Pourquoi ne pas calculer chaque chemin. $(O_{1}M)$ comprend un trajet dans l'air jusqu'à la lentille, une traversée du verre sur une épaisseur qui dépend de la hauteur du point d'impact, puis un trajet dans l'air jusqu'à $M$ ; il en va de même pour $(O_{2}M)$, avec une autre hauteur et une autre épaisseur. Il faudrait connaître le profil de la lentille : c'est hors de portée, et inutile.

3) La différence de marche sur un plan d'onde. Plaçons, en pensée, une source ponctuelle en $M$. Par le principe du retour inverse, la lumière qu'elle émet vers la lentille suit les mêmes rayons en sens contraire ; $M$ étant un point du plan focal, elle ressort de la lentille en un faisceau de rayons parallèles à $\overrightarrow{u}$. Par le théorème de Malus, les surfaces d'onde de ce faisceau sont orthogonales aux rayons : ce sont des plans orthogonaux à $\overrightarrow{u}$, et $\Pi$ en est un. Le chemin optique de $M$ à une surface d'onde est le même le long de tous les rayons : $(M{O}_2)=(MH)$, soit $(O_{2}M)=(HM)$. Le rayon issu de $O_1$ passe par $H$ : $$(O_{1}M)=O_{1}H+(HM)=O_{1}H+(O_{2}M).$$ $O_{1}H$ est la distance de $O_1$ au plan $\Pi$, c'est-à-dire la projection de $\overrightarrow{O_1{O}_2}$ sur $\overrightarrow{u}$ : $\overrightarrow{O_1{O}_2}\cdot \overrightarrow{u}=a\sin \theta$. Donc $$\delta =(O_{1}M)-(O_{2}M)=a\sin \theta .$$ Rien n'a été supposé sur la lentille, sinon qu'elle est stigmatique pour le point à l'infini dans la direction $\overrightarrow{u}$ et son image $M$ : la lentille n'introduit aucune différence de chemin optique entre deux rayons qui convergent en un même point image.

4) Avec une onde incidente inclinée. Les surfaces d'onde incidentes sont orthogonales à ${\overrightarrow{u}}_0$ ; celle qui passe par $O_1$ atteint $O_2$ après avoir parcouru $\overrightarrow{O_1{O}_2}\cdot {\overrightarrow{u}}_0=a\sin i_0$. Donc $(S{O}_2)-(S{O}_1)=a\sin i_0$, et $$\delta =(S{O}_{1}M)-(S{O}_{2}M)=[(S{O}_1)-(S{O}_2)]+[(O_{1}M)-(O_{2}M)]=a(\sin \theta -\sin i_0).$$ Cas limite $\theta =i_0$ : $\delta =0$. C'est attendu : $M$ est alors l'image de la source à l'infini, et tous les chemins optiques d'un objet à son image sont égaux.

5) Sur l'écran. En incidence normale, $\sin \theta \approx \theta \approx x/f^{\prime }$, donc $$\delta \approx \frac{ax}{f^{\prime }}.$$ Avec les valeurs proposées : $\delta =1,0\times 10^{-4}\times 5,0\times 10^{-3}=5,0\times 10^{-7}\mathrm{m}=0,50\mu \mathrm{m}$, soit environ $0,9{\lambda }_0$, au point d'abscisse $x=f^{\prime }\theta =5,0\mathrm{mm}$. $\delta$ varie de ${\lambda }_0$ quand $x$ varie de ${\lambda }_0{f}^{\prime }/a=5,5\mathrm{mm}$ : une échelle millimétrique, grâce au rapport $f^{\prime }/a=10^4$. Homogénéité : $ax/f^{\prime }$ est une longueur. Observer « à l'infini », c'est observer dans le plan focal image d'une lentille : chaque point de l'écran y recueille les rayons d'une même direction. La condition d'interférence est l'objet du chapitre suivant.

Ce que l'exercice installe. La différence de chemin optique entre deux rayons parallèles se lit sur un plan orthogonal aux rayons : $\delta =a\sin \theta$. Une lentille n'introduit aucune différence de marche entre des rayons qui convergent en un même point image ; observer à l'infini, c'est observer dans un plan focal. C'est le calcul de base de tous les dispositifs interférentiels des chapitres suivants.