Du miroir plan au miroir de télescope : le stigmatisme par les chemins optiques

La stratégie. Le stigmatisme d'un système pour un couple de points se traduit par l'égalité des chemins optiques de l'objet à l'image le long de tous les rayons. Lue à l'envers, cette propriété devient une équation dont l'inconnue est la forme de la surface.

1) Le miroir plan. D'après la loi de la réflexion, les rayons réfléchis semblent tous issus du point $S^{\prime }$ symétrique de $S$ par rapport au miroir : ce sont des demi-droites issues de $S^{\prime }$. Par le théorème de Malus, les surfaces d'onde de l'onde réfléchie leur sont orthogonales : ce sont des sphères centrées sur $S^{\prime }$. On le retrouve par les chemins optiques : pour un rayon réfléchi en $I$ et un point $M$ de ce rayon, $(SIM)=SI+IM=S^{\prime }I+IM=S^{\prime }M$, puisque $SI=S^{\prime }I$ par symétrie et que $S^{\prime }$, $I$, $M$ sont alignés. Les surfaces d'égal chemin optique, $S^{\prime }M=\text{cte}$, sont des sphères de centre $S^{\prime }$. Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point.

2) Le paraboloïde. Le rayon incident à la distance $r$ de l'axe descend du plan $z=Z_0$ jusqu'au point $P(r,h(r))$ du miroir, puis se réfléchit vers $F$. Son chemin optique est

$$L(r)=Z_0-h+\sqrt{r^2+(f-h{)}^2}.$$

Pour le rayon axial, $L(0)=Z_0+f$. Le stigmatisme exige $L(r)=L(0)$ pour tout $r$ :

$$\sqrt{r^2+(f-h{)}^2}=f+h⟺r^2+f^2-2fh+h^2=f^2+2fh+h^2⟺h(r)=\frac{r^2}{4f}.$$

Le profil est une parabole de foyer $F$, et le miroir un paraboloïde de révolution. Le stigmatisme est rigoureux pour le couple (point à l'infini sur l'axe, $F$), à toute ouverture. C'est la forme des antennes satellites, des miroirs de télescope et, à l'envers, des réflecteurs de phares.

3) La sphère et les conditions de Gauss. Développons : $R-\sqrt{R^2-r^2}=\frac{r^2}{2R}+\frac{r^4}{8R^3}+\dots$ À l'ordre $r^2$, la sphère coïncide avec le paraboloïde si et seulement si $\frac{1}{2R}=\frac{1}{4f}$, soit $R=2f$ : on retrouve que le foyer d'un miroir sphérique est au milieu du segment qui joint le sommet au centre. L'écart restant est

$$\Delta z=z_{\mathrm{sph}}-z_{\mathrm{par}}\approx \frac{r^4}{8R^3}>0:$$

au bord, la sphère est plus « creuse » que la parabole, elle remonte plus haut vers la lumière incidente. Le rayon de bord rencontre donc le miroir plus tôt, d'environ $\Delta z$, et son trajet réfléchi vers $F$ est raccourci d'environ $\Delta z$ aussi (en dérivant $L$ par rapport à $h$ à $r$ fixé, $\partial L/\partial h=-1-\frac{f-h}{\sqrt{r^2+(f-h{)}^2}}\approx -2$) : le chemin optique de bord est plus court d'environ $2\Delta z$. Cas limite $r\ll R$ : $\Delta z$ est du quatrième ordre, négligeable devant la longueur d'onde pour une ouverture assez petite ; le miroir sphérique est alors approximativement stigmatique. C'est exactement le sens des conditions de Gauss : petite ouverture, termes en $r^4$ négligeables.

4) Le télescope d'amateur. Avec $r=75\mathrm{mm}$ et $R=2f=2,40\mathrm{m}$ :

$$\Delta z=\frac{(0,075{)}^4}{8\times (2,40{)}^3}\approx 2,9\times 10^{-7}\mathrm{m},2\Delta z\approx 0,57\mu \mathrm{m}\approx 1,0{\lambda }_0.$$

C'est quatre fois le seuil de ${\lambda }_0/4$ : le miroir sphérique dégrade l'image. Le rayon maximal admissible vérifie $\frac{r^4}{4R^3}<\frac{{\lambda }_0}{4}$, soit

$$\begin{array}{rl}{r}_{\max }& ={\left({\lambda }_0{R}^3\right)}^{1/4}\\ & ={\left(550\times 10^{-9}\times 2,40^3\right)}^{1/4}\approx 5,3\mathrm{cm}.\end{array}$$

Un miroir de $10\mathrm{cm}$ de diamètre et de $1,20\mathrm{m}$ de focale peut rester sphérique ; un miroir de $150\mathrm{mm}$ doit être parabolisé : l'opticien amateur retire au polissage, au bord, trois dixièmes de micromètre de verre. Une surface optique se fabrique à une fraction de longueur d'onde près. (L'écart a été évalué au foyer paraxial ; en déplaçant légèrement le point de mise au point, on le réduit un peu, sans changer la conclusion.)

Ce que l'exercice installe. Le stigmatisme se traduit par l'égalité des chemins optiques ; il permet de trouver la forme d'une surface. La sphère est stigmatique à l'ordre $r^2$ seulement : les termes en $r^4$ mesurent l'écart, et les conditions de Gauss sont celles où ils restent petits devant la longueur d'onde. Le critère ${\lambda }_0/4$ fixe la tolérance d'une surface optique.