Onde sphérique et décroissance de l'intensité

Modèle scalaire des ondes lumineuses · niveau 2

Énoncé

Une source ponctuelle isotrope émet une puissance lumineuse $P$ . L'intensité étant une puissance par unité de surface, exprimer l'intensité $I (r)$ à la distance $r$ , puis l'amplitude de l'onde sphérique. Application : $P = 1.0 W$ , $r = 2.0 m$ .

Corrigé

En régime permanent, la puissance $P$ traverse toute sphère de centre $S$ : la puissance ne s'accumule nulle part entre deux sphères. Sur la sphère de rayon $r$ , l'intensité est uniforme (source isotrope), donc

$P = I (r) \times 4 π r^{2} ⟹ I (r) = \frac{P}{4 π r ^{2}} .$

Comme $I \propto a^{2}$ , l'amplitude décroît en $a (r) = a_{0} / r$ : c'est le facteur $1/ r$ de l'onde sphérique, ici justifié par la conservation de l'énergie. Application : $I = \frac{1 , 0}{4 π \times ( 2 , 0 ) ^{2}} \approx 2.0 \times 1 0^{- 2} W / m^{2}$ . Commentaire : l'amplitude varie lentement (en valeur relative, de $d r / r$ ), la phase vite (de $k d r$ ) ; dans un calcul d'interférences, c'est la phase qu'on garde exactement.