Télémétrie laser Terre-Lune : le chemin optique de l'atmosphère

La stratégie. Le chemin optique est la longueur qu'aurait parcourue la lumière dans le vide pendant la même durée : l'atmosphère « allonge » la distance de la Lune. On calcule cet allongement par $\int n\mathrm{d}\ell$ et on le compare à la précision visée.

1) L'échelle de temps. Dans le vide, $t=2D_{\mathrm{TL}}/c=2\times 3,844\times 10^8/3,00\times 10^8\approx 2,56\mathrm{s}$. Un millimètre sur la distance, c'est deux millimètres sur l'aller-retour, soit $2\times 10^{-3}/c\approx 6,7\mathrm{ps}$, sur deux secondes et demie.

2) L'excès de chemin optique. Le long de la verticale, de $z=0$ à une altitude $Z\gg H$ : $$L={\int }_0^{Z}n(z)\mathrm{d}z=Z+(n_0-1){\int }_0^Z{\mathrm{e}}^{-z/H}\mathrm{d}z=Z+(n_0-1)H\left(1-{\mathrm{e}}^{-Z/H}\right)\approx Z+(n_0-1)H.$$ L'excès vaut $$\Delta L=(n_0-1)H=2,9\times 10^{-4}\times 8,0\times 10^3\approx 2,3\mathrm{m}.$$ Sur l'aller-retour, $4,6\mathrm{m}$, soit un retard $\tau =2\Delta L/c\approx 15\mathrm{ns}$, plus de deux mille fois les $6,7\mathrm{ps}$ visées. Tout se passe comme si l'atmosphère entière était une couche homogène, à la densité du sol, de hauteur $H$.

3) Le baromètre corrige la Lune. $n-1$ étant proportionnel à la masse volumique $\rho$, $\Delta L={\int }_0^{\infty }(n-1)\mathrm{d}z$ est proportionnel à ${\int }_0^{\infty }\rho \mathrm{d}z$, masse d'air au-dessus d'un mètre carré de sol, dont le poids est, par l'équilibre hydrostatique, la pression au sol $P_0$. L'excès de chemin optique est proportionnel à la pression au sol : une mesure barométrique à la station donne la correction. Une erreur de $1\%$ sur $P_0$ (dix hectopascals) donne une erreur de $2,3\mathrm{cm}$ : pour le millimètre, il faut la pression à un demi-hectopascal près.

4) Le tir incliné. Dans des couches planes, un rayon incliné de $\theta$ parcourt $\mathrm{d}\ell =\mathrm{d}z/\cos \theta$ pour une épaisseur $\mathrm{d}z$ : $$\Delta L(\theta )=\frac{(n_0-1)H}{\cos \theta },\Delta L(60^{\circ })=\frac{2,32}{0,5}\approx 4,6\mathrm{m}\text{par trajet},$$ soit $9,3\mathrm{m}$ et $31\mathrm{ns}$ sur l'aller-retour. Cas limite : quand $\theta \to 90^{\circ }$, $1/\cos \theta \to \infty$ et l'excès diverge, ce qui est absurde. Le modèle plan casse : la Terre est ronde, et un rayon rasant ne traverse qu'une épaisseur d'air finie, de l'ordre de $\sqrt{\pi R_{T}H/2}\approx 2,8\times 10^2\mathrm{km}$, soit environ trente-cinq fois $H$ ; de plus, le rayon se courbe (réfraction atmosphérique).

5) Pourquoi une durée et non une phase. L'excès vertical vaut $\Delta L/{\lambda }_0=2,32/532\times 10^{-9}\approx 4,4\times 10^6$ longueurs d'onde, soit un retard de phase $2\pi \Delta L/{\lambda }_0\approx 2,7\times 10^7\mathrm{rad}$. Une phase n'est connue qu'à $2\pi$ près, la turbulence la fait fluctuer de bien plus que $2\pi$ d'un tir à l'autre, et aucun détecteur ne la mesure : on mesure une durée de propagation. Le retard s'écrit indifféremment $$\Delta \phi =\omega \tau =\frac{2\pi }{{\lambda }_0}\Delta L,\tau =\frac{\Delta L}{c}:$$ chemin optique et durée sont la même information. (Rigoureusement, c'est l'indice de groupe qui intervient pour une impulsion ; l'ordre de grandeur est inchangé.)

Ce que l'exercice installe. Le chemin optique se calcule par $\int n\mathrm{d}\ell$ pour un indice continûment variable ; un écart d'indice minuscule, intégré sur une grande longueur, donne un excès macroscopique. Le retard s'exprime en durée de propagation ou en chemin optique, c'est la même grandeur. Et une phase de lumière, connue à $2\pi$ près, ne se mesure jamais directement.