Une lame de verre sur un faisceau : le retard sous incidence oblique

La stratégie. Comparer deux situations, avec et sans lame, n'a de sens qu'entre des surfaces qui sont des surfaces d'onde dans les deux situations : en dehors de la région qu'elles délimitent, les deux ondes sont identiques, et le retard est la différence des chemins optiques entre ces deux surfaces. Le théorème de Malus dit où elles sont : orthogonales aux rayons.

1) La lame déphasant de $\pi$. Sous incidence normale, l'épaisseur $e$ de matériau remplace la même épaisseur d'air : le retard est $(n-1)e$, le déphasage $2\pi (n-1)e/{\lambda }_0$. Il vaut $\pi$ pour

$$e=\frac{{\lambda }_0}{2(n-1)}=\frac{600\times 10^{-9}}{2\times 0,33}\approx 0,91\mu \mathrm{m}.$$

Une couche de moins d'un micromètre suffit : c'est l'ordre de grandeur des couches minces de traitement optique. Le nom « lame demi-onde » appartient à l'optique de la polarisation : il désigne une lame biréfringente qui déphase de $\pi$ deux composantes du champ l'une par rapport à l'autre, notion hors programme. Ici, il s'agit d'une simple lame qui retarde l'onde scalaire : on dit lame déphasant de $\pi$.

2) Le retard sous incidence oblique. Parallélisme. En $I$, $\sin i=n\sin r$ ; en $J$, la face de sortie est parallèle à celle d'entrée, donc $n\sin r=\sin i^{\prime }$, et $i^{\prime }=i$ : le faisceau émergent est parallèle au faisceau incident, simplement décalé. Par Malus, avant comme après la lame, les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à la même direction $\overrightarrow{u}$. Les bonnes surfaces. Soit ${\Sigma }_1$ le plan d'onde passant par $I$ (avant la lame) et ${\Sigma }_2$ le plan d'onde passant par $J$ (après). Avec la lame, le chemin optique de ${\Sigma }_1$ à ${\Sigma }_2$ le long du rayon est

$$(IJ)=nIJ=\frac{ne}{\cos r}.$$

Sans la lame, l'onde plane va de ${\Sigma }_1$ à ${\Sigma }_2$ dans l'air, en ligne droite selon $\overrightarrow{u}$ : son chemin optique est la distance entre les deux plans, c'est-à-dire la projection de $\overrightarrow{IJ}$ sur $\overrightarrow{u}$, qui fait l'angle $i-r$ avec $\overrightarrow{IJ}$ :

$$IJ\cos (i-r)=\frac{e\cos (i-r)}{\cos r}.$$

En dehors de la bande comprise entre ${\Sigma }_1$ et ${\Sigma }_2$, les deux ondes sont identiques ; le retard est donc

$$\delta =\frac{e(n-\cos (i-r))}{\cos r}=\frac{e(n-\cos i\cos r-\sin i\sin r)}{\cos r}.$$

Avec $\sin i=n\sin r$, $\sin i\sin r=n{\sin }^{2}r$, et $n-n{\sin }^{2}r=n{\cos }^{2}r$ :

$$\delta =e(n\cos r-\cos i)=e\left(\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}-\cos i\right),$$

puisque $n\cos r=\sqrt{n^2-n^2{\sin }^{2}r}=\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}$.

3) L'erreur de l'étudiant. Il compare des chemins entre les mêmes points $I$ et $J$, comme si, sans lame, l'onde allait de $I$ à $J$. Ce n'est pas le cas : sans lame, le rayon passant par $I$ n'est pas dévié et ne passe pas par $J$. Les points $I$ et $J$ ne sont reliés par un rayon que dans la situation avec lame ; on ne peut comparer les deux situations qu'entre deux surfaces d'onde communes. C'est le point délicat de tout calcul de retard : on compare entre surfaces d'onde, pas entre points.

4) Cas limites et application. Pour $i=0$, $\delta =e(n-1)$ : on retrouve la question 1. Pour $i$ petit, $\sqrt{n^2-i^2}\approx n-\frac{i^2}{2n}$ et $\cos i\approx 1-\frac{i^2}{2}$, d'où

$$\delta \approx (n-1)e+\frac{e}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)i^2.$$

L'augmentation vaut ${\lambda }_0$ pour

$$\begin{array}{rl}i& =\sqrt{\frac{2n{\lambda }_0}{(n-1)e}}\\ & =\sqrt{\frac{2\times 1,50\times 600\times 10^{-9}}{0,50\times 1,0\times 10^{-3}}}\\ & =0,060\mathrm{rad}\approx 3,4^{\circ }\end{array}$$

(la formule exacte, résolue numériquement, donne $3,44^{\circ }$). La formule de l'étudiant donnerait une augmentation $(n-1)e\left(\frac{1}{\cos r}-1\right)\approx (n-1)e\frac{r^2}{2}\approx \frac{(n-1)e{i}^2}{2n^2}$, soit $0,40\mu \mathrm{m}$ au lieu de $0,60\mu \mathrm{m}$ : une erreur d'un tiers. Commentaire. Le retard dépend de l'inclinaison au second ordre : une lame proche de l'incidence normale est insensible à un petit défaut d'orientation, mais quelques degrés suffisent à ajouter une longueur d'onde. Incliner une lame est un moyen commode de régler finement un retard ; c'est aussi pourquoi, dans un interféromètre, une lame compensatrice doit être exactement parallèle à la lame qu'elle compense.

Ce que l'exercice installe. Un retard se calcule entre deux mêmes surfaces d'onde, repérées par le théorème de Malus, jamais entre deux points qui ne sont reliés par un rayon que dans l'une des situations. Le retard d'une lame croît quadratiquement avec l'incidence. Et le vocabulaire : une lame qui déphase l'onde scalaire n'est pas une lame demi-onde.