Le critère de brouillage spatial : c'est l'écart transverse qui compte

La stratégie. On établit le terme côté source avec des coordonnées explicites, comme le cours l'a fait côté écran, pour en fixer le signe. Ensuite, tout est additivité des intensités et variation de l'ordre.

1) Le terme côté source, avec son signe.

$$S^{\prime }{S}_1^2=d^2+{\left(x_s-\frac{a}{2}\right)}^2+y_s^2,S^{\prime }{S}_2^2=d^2+{\left(x_s+\frac{a}{2}\right)}^2+y_s^2,$$

donc $S^{\prime }{S}_2^2-S^{\prime }{S}_1^2=2a{x}_s$, puis $S^{\prime }{S}_2-S^{\prime }{S}_1=\frac{2a{x}_s}{S^{\prime }{S}_1+S^{\prime }{S}_2}\approx \frac{a{x}_s}{d}$ pour $a,|x_s|\ll d$. Le signe est clair : pour $x_s>0$, la source est plus près de $S_1$, le trajet par $S_2$ est le plus long. En ajoutant le terme côté écran :

$$\delta (x)=\frac{a{x}_s}{d}+\frac{ax}{D}.$$

Les franges brillantes sont en $x_p=p\frac{\lambda D}{a}-\frac{D}{d}{x}_s$ : la figure est translatée de $-\frac{D}{d}{x}_s$, en sens opposé au déplacement de la source, l'interfrange étant inchangé. Interprétation : la frange d'ordre $0$ vérifie $x_0/D=-x_s/d$ : elle est sur la droite qui joint $S^{\prime }$ au milieu $I$ des trous, comme si la lumière traversait l'écran en $I$ sans être déviée. En un point fixe de l'écran, l'ordre varie de $\Delta p=a{x}_s/(\lambda d)$ quand la source se déplace de $x_s$.

2) Deux points sources : le demi-ordre. Les deux points sont incohérents entre eux : les intensités s'ajoutent. Avec $\phi =2\pi ax/(\lambda D)$ et $\psi =2\pi a{x}_s/(\lambda d)$ :

$$\begin{array}{rl}I& =2I_0\left[1+\cos \phi \right]+2I_0\left[1+\cos (\phi +\psi )\right]\\ & =4I_0\left[1+\cos \frac{\psi }{2}\cos \left(\phi +\frac{\psi }{2}\right)\right],\end{array}$$

par la formule de somme des cosinus. Le contraste vaut $|\cos (\psi /2)|=\left|\cos \frac{\pi a{x}_s}{\lambda d}\right|$. Il s'annule d'abord pour $a{x}_s/(\lambda d)=1/2$, soit

$$\begin{array}{rl}{x}_s& =\frac{\lambda d}{2a}\\ & =\frac{546\times 10^{-9}\times 0,60}{2\times 0,40\times 10^{-3}}\\ & =0,41\mathrm{mm}:\end{array}$$

les deux systèmes sont décalés d'une demi-interfrange, $\Delta p=1/2$ : les franges brillantes de l'un tombent sur les franges sombres de l'autre.

3) La fente large : l'ordre entier. Les points de la fente ont des abscisses $x_s$ comprises entre $-b/2$ et $b/2$ : en un point de l'écran, l'ordre varie, d'un bord de la source à l'autre, de $\Delta p=ab/(\lambda d)$. Le critère $\Delta p=1$ donne

$$\begin{array}{rl}{b}_c& =\frac{\lambda d}{a}\\ & =\frac{546\times 10^{-9}\times 0,60}{0,40\times 10^{-3}}\\ & =0,82\mathrm{mm}.\end{array}$$

L'argument des deux moitiés. Découpons la fente de largeur $b_c$ en deux moitiés, et associons chaque point de la première au point situé $b_c/2$ plus loin, dans la seconde. Entre ces deux points, l'ordre varie de $\frac{a{b}_c/2}{\lambda d}=\frac{1}{2}$ : d'après la question 2, chaque paire donne un éclairement uniforme. La fente entière étant une réunion de telles paires, l'éclairement total est uniforme : le contraste est exactement nul pour $b=b_c$. Pourquoi $1$ et pas $1/2$ : deux points se brouillent pour un demi-ordre, mais une distribution continue et uniforme ne se brouille que lorsque ses systèmes remplissent un interfrange entier.

4) Ce qui ne compte pas. Selon l'axe : si $x_s=y_s=0$, $S^{\prime }{S}_1=S^{\prime }{S}_2$ quel que soit $d$ ; le terme côté source reste nul, seul l'éclairement change. Selon $(Oy)$ : dans la différence $S^{\prime }{S}_2^2-S^{\prime }{S}_1^2$, les termes $y_s^2$ et $d^2$ s'éliminent, et il reste $2a{x}_s$, exactement, quel que soit $y_s$. Seul compte l'écart transverse selon $S_1{S}_2$. Conséquence : une fente source allongée selon $(Oy)$, perpendiculairement à $S_1{S}_2$, peut être aussi longue qu'on veut sans brouiller les franges ; seule sa largeur doit rester petite devant $b_c$.

5) La fente tournée. Tournée de $\beta$, la fente de longueur $L$ occupe en $x_s$ une étendue $L\sin \beta$ (sa projection sur la direction $S_1{S}_2$), qui joue le rôle de la largeur. Les franges disparaissent pour $L\sin \beta =b_c$ :

$$\sin \beta =\frac{0,82}{5,0}=0,164,\beta \approx 9,4^{\circ }.$$

Un défaut d'alignement de quelques degrés entre la fente source et la direction perpendiculaire à $S_1{S}_2$ suffit à faire chuter le contraste : en pratique, on tourne la fente source jusqu'à ce que les franges soient les plus contrastées. Cas limite : $\beta =0$, aucune étendue selon $x$, aucun brouillage.

Ce que l'exercice installe. Le terme côté source $a{x}_s/d$, avec son signe, et la translation $-\frac{D}{d}{x}_s$. Seul l'écart transverse selon $S_1{S}_2$ compte ; le critère de brouillage est une variation d'ordre $\Delta p=1$ d'un bord à l'autre d'une source continue, $1/2$ entre deux points.