Observer à l'infini : la frange centrale est l'image de la source

La stratégie. On ne calcule pas de distances géométriques à travers une lentille : on raisonne sur des surfaces d'onde, et l'on utilise que le chemin optique entre deux points conjugués ne dépend pas du rayon suivi.

1) La différence de marche dans le plan focal. Les rayons parallèles inclinés de $\theta$ convergent au foyer secondaire, que repère le rayon passant par le centre optique, non dévié : $x=f^{\prime }\tan \theta \approx f^{\prime }\theta$. Par le principe du retour inverse, un point source placé en $M^{\prime }$ donnerait après la lentille une onde plane se propageant dans la direction $\theta$ (en sens inverse) ; d'après le théorème de Malus, ses surfaces d'onde sont des plans perpendiculaires aux rayons. Soit $H$ le pied de la perpendiculaire menée de $S_1$ sur le rayon issu de $S_2$ : $S_1$ et $H$ sont sur un même plan d'onde, donc $(S_1{M}^{\prime })=(H{M}^{\prime })$ ; c'est l'égalité des chemins optiques entre $M^{\prime }$ et son conjugué, le point à l'infini dans la direction $\theta$. Il reste

$$\delta (M^{\prime })=(S_2{M}^{\prime })-(S_1{M}^{\prime })=S_{2}H=a\sin \theta \approx a\theta =\frac{ax}{f^{\prime }}.$$

Les franges brillantes sont en $x_p=p\lambda f^{\prime }/a$, d'où

$$\begin{array}{rl}i& =\frac{\lambda f^{\prime }}{a}\\ & =\frac{600\times 10^{-9}\times 1,0}{0,50\times 10^{-3}}\\ & =1,2\mathrm{mm}.\end{array}$$

Le point délicat : les deux rayons ne parcourent pas la même épaisseur de verre ; c'est précisément pour cela qu'on raisonne en chemin optique et pas en distances. Intérêt : la lentille réalise une observation « à grande distance », celle du programme, sur un écran proche ; la focale joue le rôle de $D$, et la relation $\delta =a\sin \theta$ est exacte, sans l'hypothèse $|x|\ll D$.

2) La source déplacée. $S$ au foyer objet de $L_0$ : l'onde émergente est plane, parallèle à l'axe, ses plans d'onde sont parallèles au plan des trous ; $S_1$ et $S_2$ sont sur un même plan d'onde, ils vibrent en phase. Déplacée de $y_s$ vers $S_1$ (vers les $x>0$), la source reste dans le plan focal objet : l'onde émergente est encore plane, de direction celle du rayon $S{O}_0$ qui passe par le centre de $L_0$ sans être dévié, donc inclinée vers les $x<0$ :

$$\begin{array}{rl}{\theta }_0& =-\frac{y_s}{f_0}\\ & =-\frac{0,10\times 10^{-3}}{0,50}\\ & =-2,0\times 10^{-4}\mathrm{rad}.\end{array}$$

Les plans d'onde sont perpendiculaires à cette direction ; la différence des chemins optiques jusqu'aux trous est la projection de $\overrightarrow{S_2{S}_1}$ sur la direction de propagation : $(S{S}_1)-(S{S}_2)=a\sin {\theta }_0$. En ajoutant la partie après les trous :

$$\delta (M^{\prime })=-a\sin {\theta }_0+a\sin \theta \approx a(\theta -{\theta }_0).$$

La frange d'ordre $0$ est en $\theta ={\theta }_0$, soit $x_0=f^{\prime }{\theta }_0=-f^{\prime }{y}_s/f_0=-0,20\mathrm{mm}$ : la figure est translatée de $0,20\mathrm{mm}$, soit un sixième d'interfrange, dans le sens opposé au déplacement de la source ; l'interfrange est inchangé. On reconnaît le résultat du cours, $-\frac{D}{d}{x}_s$, où $D$ est remplacé par $f^{\prime }$ et $d$ par $f_0$.

3) La frange d'ordre $0$ est l'image de la source. L'image de $S$ par $L_0$ est à l'infini dans la direction ${\theta }_0$ ; son image par $L$ est dans le plan focal image, en $x=f^{\prime }{\theta }_0$ : c'est exactement $x_0$. Pourquoi : $S$ et son image $S^{\prime }$ sont conjugués à travers le système $(L_0,L)$. L'écran percé ne fait que sélectionner deux rayons parmi tous ceux qui vont de $S$ à $S^{\prime }$ : $S\to S_1\to S^{\prime }$ et $S\to S_2\to S^{\prime }$. Par l'égalité des chemins optiques entre points conjugués, $(S{S}_1{S}^{\prime })=(S{S}_2{S}^{\prime })$, donc $\delta (S^{\prime })=0$. Le résultat est général : la frange d'ordre $0$ passe par l'image géométrique de la source, et la figure suit cette image quand la source se déplace. Pour une onde plane incidente inclinée de ${\theta }_0$, la figure est centrée sur le foyer secondaire $x=f^{\prime }{\theta }_0$, et $\delta =a(\theta -{\theta }_0)$.

Ce que l'exercice installe. Les surfaces d'onde et l'égalité des chemins optiques entre points conjugués donnent la différence de marche à travers une lentille, sans calcul de distances : $\delta =a(\theta -{\theta }_0)$ dans le plan focal. La frange centrale est l'image géométrique de la source : déplacer la source déplace la figure, sans changer l'interfrange.