Ouvrir la fente source : les franges disparaissent… et reviennent inversées

La stratégie. Le critère $\Delta p=1$ prévoit la première disparition, pas la suite. Pour comprendre la réapparition, on fait le calcul complet par l'additivité des intensités, qui fait apparaître un facteur de visibilité signé.

1) Le critère. D'un bord à l'autre de la fente, $x_s$ varie de $b$, et l'ordre en un point de l'écran de $\Delta p=ab/(\lambda d)$. Le critère $\Delta p=1$ donne $$b_c=\frac{\lambda d}{a}=\frac{546\times 10^{-9}\times 0,60}{0,40\times 10^{-3}}=0,82\mathrm{mm},$$ en accord avec la disparition observée vers $0,8\mathrm{mm}$. L'interfrange vaut $i=\lambda D/a=1,64\mathrm{mm}$.

2) Le calcul par additivité. Les points de la fente source sont des émetteurs indépendants, sans relation de phase stable, et le récepteur moyenne sur des durées immenses devant le temps de cohérence : les intensités s'ajoutent. Posons $\phi =\frac{2\pi ax}{\lambda D}$ et $k_s=\frac{2\pi a}{\lambda d}=\frac{2\pi }{b_c}$ : $$I(x)={\int }_{-b/2}^{b/2}2\kappa \left[1+\cos (\phi +k_s{x}_s)\right]\mathrm{d}{x}_s=2\kappa b+2\kappa \frac{\sin (\phi +k_{s}b/2)-\sin (\phi -k_{s}b/2)}{k_s}.$$ Or $\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A\sin B$ ; d'où $$I(x)=2\kappa b\left[1+\frac{\sin (k_{s}b/2)}{k_{s}b/2}\cos \phi \right],\frac{k_{s}b}{2}=\frac{\pi b}{b_c}.$$ C'est la forme annoncée, avec $V(b)=\frac{\sin (\pi b/b_c)}{\pi b/b_c}$. Le contraste est $\mathcal{C}=|V(b)|$.

3) Disparition et inversion. $V$ s'annule pour $b=b_c$, comme le prévoyait le critère. Pour $b_c<b<2b_c$, $V<0$ : $I(x)=2\kappa b\left[1-|V|\cos \phi \right]$ est minimal en $x=0$ : les franges reviennent inversées. Physiquement : une fente de largeur $b_c+\epsilon$ se découpe en une partie centrale de largeur $b_c$, qui donne un éclairement uniforme, et deux bandes de bord, vers $x_s=\pm b_c/2$, dont les systèmes sont décalés de $\mp \frac{D}{d}\frac{b_c}{2}=\mp \frac{i}{2}$ : ces bandes non compensées mettent leurs franges brillantes là où une source fine aurait ses franges sombres. Le contraste des franges réapparues est au mieux $0,217$, pour $b=\frac{4,493}{\pi }{b}_c=1,43b_c\approx 1,17\mathrm{mm}$ ; il s'annule à nouveau pour $b=2b_c=1,64\mathrm{mm}$, comme observé.

4) Les franges ne pâlissent pas, elles s'aplatissent. Pour une largeur $b$ donnée : $$I_{\max }=2\kappa b(1+|V|),I_{\min }=2\kappa b(1-|V|),⟨I⟩=2\kappa b.$$ L'intensité moyenne ne dépend pas de $V$ : la perte de contraste ne retire pas de lumière, elle la redistribue ; les maxima descendent, les minima remontent, jusqu'à un éclairement uniforme de même niveau moyen. « Pâlir » suggère une figure moins lumineuse : c'est le contresens à éviter, le contraste est une hauteur relative de modulation, pas une luminosité. D'ailleurs, quand on ouvre la fente, l'éclairement moyen $2\kappa b$ augmente.

5) Contraste et compromis. $|V|\ge 0,9⟺\pi b/b_c\le 0,787$ : $$b\le \frac{0,787}{\pi }{b}_c=0,250b_c=0,21\mathrm{mm}.$$ L'amplitude de la modulation vaut $$I_{\max }-I_{\min }=4\kappa b|V(b)|=\frac{4\kappa b_c}{\pi }\left|\sin \frac{\pi b}{b_c}\right|,$$ car $b\cdot \frac{\sin (\pi b/b_c)}{\pi b/b_c}=\frac{b_c}{\pi }\sin \frac{\pi b}{b_c}$. Elle est maximale pour $\pi b/b_c=\pi /2$, soit $b=b_c/2=0,41\mathrm{mm}$, avec un contraste $V=\frac{\sin (\pi /2)}{\pi /2}=\frac{2}{\pi }\approx 0,64$. Cas limite : quand $b\to 0$, $V\to 1$ mais $I_{\max }-I_{\min }\approx 4\kappa b\to 0$ : des franges parfaites et invisibles, faute de lumière. Le réglage d'une fente source est un compromis entre flux et contraste.

6) Le script. On remplace la fente par $N$ points sources et l'on somme les figures :

import numpy as np
lam, a, d, D = 546e-9, 0.40e-3, 0.60, 1.20
x = np.linspace(-5e-3, 5e-3, 2001)        # points de l'ecran (m)
def figure(b, N=400):
    xs = np.linspace(-b/2, b/2, N)        # points sources incoherents
    return sum(1 + np.cos(2*np.pi*a/lam*(s/d + x/D)) for s in xs)
for b in [0.10e-3, 0.21e-3, 0.41e-3, 1.17e-3]:
    I = figure(b)
    C = (I.max() - I.min())/(I.max() + I.min())
    centre = "sombre" if I[1000] < I.mean() else "brillant"
    print(b, round(C, 2), centre)

Il affiche les contrastes $0,98$, $0,89$, $0,63$ et $0,22$, ce dernier avec un centre sombre : $|V|$ et l'inversion, à la discrétisation près.

Ce que l'exercice installe. L'additivité des intensités des points d'une source étendue donne un facteur de visibilité signé : nul au critère $\Delta p=1$, puis négatif, franges inversées. Le contraste chute sans que l'éclairement moyen change. Le réglage d'une fente source est un compromis chiffré : $b\approx b_c/2$ pour la meilleure visibilité, $b\lesssim b_c/4$ pour des franges presque parfaites.