Le Michelson déplié : miroir équivalent, sources secondaires, $\delta =2e\cos i$

La stratégie. On remplace chaque réflexion plane par la symétrie correspondante : une réflexion conserve les longueurs, donc les chemins optiques, et une séparatrice infiniment mince n'ajoute aucun chemin. Le Michelson se « déplie » alors en deux sources secondaires, et la différence de marche à l'infini est la projection du vecteur qui les joint sur la direction d'observation.

1) Les deux sources secondaires. Voie 1. La lumière issue de $S$ est réfléchie par $\mathrm{Sp}$ : après cette réflexion, elle semble venir de $S^{\prime }$, image de $S$ par le plan de $\mathrm{Sp}$, avec le même chemin optique. Elle se réfléchit ensuite sur $M_1$ et semble alors venir de $S_1$, image de $S^{\prime }$ par $M_1$ ; la traversée finale de $\mathrm{Sp}$, infiniment mince, ne change rien. Voie 2. La lumière traverse $\mathrm{Sp}$ sans déviation, se réfléchit sur $M_2$, puis sur $\mathrm{Sp}$. Cette dernière réflexion remplace tout ce qui la précède par son image dans $\mathrm{Sp}$ : $S$ devient $S^{\prime }$, $M_2$ devient $M_2^{\prime }$. Tout se passe comme si la lumière partait de $S^{\prime }$ et se réfléchissait sur $M_2^{\prime }$ : elle semble venir de $S_2$, image de $S^{\prime }$ par $M_2^{\prime }$. Pour tout point $M$ du champ d'observation, les chemins optiques valent donc $S_{1}M$ et $S_{2}M$.

Position des sources. Prenons un axe $z$ normal aux miroirs, $M_1$ en $z=0$, $M_2^{\prime }$ en $z=-e$, et $S^{\prime }$ en $(x,y,h)$. La symétrie par rapport à $M_1$ donne $S_1=(x,y,-h)$, la symétrie par rapport à $M_2^{\prime }$ donne $S_2=(x,y,-2e-h)$. Les deux sources sont sur la normale menée par $S^{\prime }$ et $$\overrightarrow{S_2{S}_1}=2e{\overrightarrow{u}}_z,S_1{S}_2=2e,$$ indépendamment de $x$, $y$, $h$, donc du point source.

2a) Par les sources secondaires. Un point $M$ très éloigné, dans la direction du vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ faisant l'angle $i$ avec ${\overrightarrow{u}}_z$, voit les deux sources sous des directions parallèles ; en développant au premier ordre en $S_1{S}_2/OM$, la différence des distances est la projection de $\overrightarrow{S_2{S}_1}$ sur $\overrightarrow{u}$ : $$\delta =S_{2}M-S_{1}M=\overrightarrow{S_2{S}_1}\cdot \overrightarrow{u}=2e\cos i.$$ C'est la longueur $S_{2}K$, où $K$ est le projeté orthogonal de $S_1$ sur le rayon issu de $S_2$. Avec une lentille, c'est exact : les plans perpendiculaires à $\overrightarrow{u}$ sont des surfaces d'onde (théorème de Malus), d'où les chemins jusqu'au foyer sont égaux ; seule reste la projection de $S_1{S}_2$.

2b) Par la lame d'air. Un rayon incident sous l'angle $i$ atteint $M_1$ en $A$. L'onde 1 s'y réfléchit. L'onde 2 poursuit (dans le schéma déplié, $M_1$ est traversé fictivement), se réfléchit sur $M_2^{\prime }$ en $B$ et recoupe le plan de $M_1$ en $C$, d'où elle repart parallèlement à l'onde 1. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur le rayon 1. Le plan passant par $H$ et $C$, perpendiculaire aux deux rayons émergents, est une surface d'onde (Malus) : de $H$ et de $C$ au point d'observation à l'infini, les chemins sont égaux. Donc $$\delta =(AB+BC)-AH.$$

Or $AB=BC=\frac{e}{\cos i}$, $AC=2e\tan i$ et, l'angle entre $AC$ (le long du miroir) et le rayon 1 valant $\frac{\pi }{2}-i$, $AH=AC\sin i=2e\tan i\sin i$. D'où $$\delta =\frac{2e}{\cos i}-\frac{2e{\sin }^{2}i}{\cos i}=\frac{2e(1-{\sin }^{2}i)}{\cos i}=2e\cos i.$$ Aucun terme $\lambda /2$ n'apparaît : les deux réflexions, sur $M_1$ et sur $M_2^{\prime }$, sont de même nature (exercice 1 pour la séparatrice). Homogénéité : une longueur. Cas limite : $i=0$ donne $\delta =2e$, l'aller-retour dans la lame.

3) Pourquoi la source étendue est permise. Pour $P^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },h^{\prime })$, on trouve de même $P_1=(x^{\prime },y^{\prime },-h^{\prime })$, $P_2=(x^{\prime },y^{\prime },-2e-h^{\prime })$, donc $\overrightarrow{P_2{P}_1}=2e{\overrightarrow{u}}_z=\overrightarrow{S_2{S}_1}$ : le couple $(P_1,P_2)$ se déduit de $(S_1,S_2)$ par une translation. À l'infini, $\delta$ ne dépend que du vecteur qui joint les deux sources et de la direction d'observation : tous les points de la source donnent, dans la direction $i$, la même différence de marche $2e\cos i$. Leurs systèmes d'anneaux, incohérents entre eux, s'ajoutent en intensité en coïncidant : aucun brouillage, et toute la luminosité de la source. À distance finie, en revanche, $S_{2}M-S_{1}M$ dépend de la position du couple par rapport à $M$ : chaque point source donne un système décalé, et une source large brouille les franges. Les franges sont donc localisées à l'infini : le programme l'admet, on en voit ici la raison.

Comparaison avec Young. Aux trous d'Young, les deux sources secondaires sont les trous $T_1$ et $T_2$, fixes, et la différence de marche contient un terme côté source, $P{T}_2-P{T}_1$, qui change d'un point source à l'autre : c'est le brouillage par élargissement de la source. Au Michelson, les deux ondes sont deux images du même point : il n'y a pas de terme côté source, c'est le couple entier qui se déplace, rigidement.

4) Les anneaux. $\delta$ ne dépend que de l'angle $i$ avec la normale : les points du plan focal d'égale différence de marche sont sur des cercles centrés sur le foyer principal de la lentille (dont l'axe est normal aux miroirs). Ce sont les anneaux d'égale inclinaison. L'ordre $p=2e\cos i/\lambda$ est maximal au centre, $p_0=2e/\lambda$, et décroît vers le bord. Pour $e=0$, $\delta =0$ dans toutes les directions : le champ est uniforme, c'est la teinte plate du contact optique.

Ce que l'exercice installe. Le dépliage : une réflexion plane se remplace par une symétrie qui conserve les chemins ; il fournit deux sources secondaires distantes de $2e$ sur la normale, d'où $\delta =2e\cos i$ par projection, ou par la lame à faces parallèles et Malus. Il explique la localisation à l'infini : tous les couples de sources se déduisent les uns des autres par translation.