Lumière blanche : le contact optique, et l'épaisseur d'une lamelle

La stratégie. Chaque radiation donne son propre système de franges, d'ordre $p=\delta /\lambda$ ; les radiations étant incohérentes entre elles, les intensités s'ajoutent. Tant que les ordres des différentes couleurs restent voisins, on voit des franges colorées ; dès que leur dispersion atteint une unité, les systèmes se brouillent. La lumière blanche ne sert pas à mesurer : elle sert à repérer $\delta =0$.

1) Les ordres des couleurs. Pour une différence de marche $\delta$, la radiation $\lambda$ a l'ordre $p=\delta /\lambda =\sigma \delta$. À $\delta =0$, $p=0$ pour toutes : toutes les couleurs sont dans le même état d'interférence (brillant, ou sombre si un déphasage de $\pi$ à la séparatrice affecte la sortie, comme à l'exercice 1 des travaux dirigés ; ce déphasage est le même pour toutes les couleurs). La frange $\delta =0$ est donc achromatique : blanche, ou noire. Quand $\delta$ croît, les ordres se séparent : entre les bords du spectre, ils diffèrent de $\Delta p=\delta \Delta \sigma \approx \delta \Delta \lambda /{\lambda }_0^2$. Le brouillage survient quand $\Delta p\approx 1$ :

$$\delta \approx \frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }=\frac{(0,55\mu \mathrm{m}{)}^2}{0,30\mu \mathrm{m}}\approx 1\mu \mathrm{m}.$$

C'est la longueur de cohérence de la lumière blanche, ${\ell }_c\approx 1\mu \mathrm{m}$ : on ne voit que deux ou trois franges colorées de part et d'autre de la frange achromatique.

2) Les teintes. La radiation $\lambda$ s'éteint pour $\delta =\lambda /2$, puis $3\lambda /2$… Les courtes longueurs d'onde s'éteignent les premières : vers $\delta \approx 0,2\mu \mathrm{m}$ le bleu (teinte jaunâtre), vers $0,3\mu \mathrm{m}$ l'orangé–rouge (teinte pourpre, puis bleue), et ainsi de suite, en couleurs de plus en plus pâles. Aux grandes différences de marche, quelques micromètres et au-delà, de nombreuses radiations, réparties dans tout le spectre, sont éteintes et autant sont renforcées : l'œil n'y perçoit plus qu'un blanc, le blanc d'ordre supérieur. La suite des teintes est symétrique autour de $\delta =0$, ce qui permet de repérer la frange achromatique.

3) La compensatrice. Le modèle du programme suppose la séparatrice infiniment mince. Dans l'appareil réel, une voie traverse davantage de verre que l'autre : elle reçoit une différence de marche supplémentaire qui dépend de $\lambda$, parce que l'indice du verre en dépend (dispersion). La position où $\delta =0$ n'est plus la même pour toutes les couleurs : il n'existe plus de frange achromatique, et l'on ne voit jamais les franges colorées, dont l'étendue est d'un micromètre. La compensatrice, lame identique placée sur l'autre voie, égalise les épaisseurs de verre traversées : la dispersion disparaît de la différence de marche, et l'on retrouve l'appareil du modèle.

4) Le protocole du contact optique. Les franges de lumière blanche n'existent que sur $\pm 1\mu \mathrm{m}$ autour du contact : on ne les trouve pas au hasard. On commence en lumière monochromatique (${\ell }_c$ de quelques centimètres) : en lame d'air, on chariote dans le sens où les anneaux rentrent (exercice 3 des travaux dirigés), jusqu'à la teinte plate, ce qui place $e$ à quelques dizaines de micromètres du contact. On passe alors en coin d'air (exercice 6 des travaux dirigés) : l'épaisseur variant d'un bord à l'autre du champ, toutes les différences de marche voisines de zéro sont présentes à la fois sur l'écran, et l'on cherche la frange achromatique en chariotant très lentement en lumière blanche. Encadrée de ses franges colorées, elle matérialise la ligne $e=0$, intersection de $M_1$ et de $M_2^{\prime }$ ; centrée dans le champ, elle repère le zéro à une fraction de micromètre près.

5) La lamelle. La lamelle remplace, sur la voie concernée, une épaisseur $\ell$ d'air par une épaisseur $\ell$ de verre, à l'aller et au retour : la différence de marche augmente de $2(n-1)\ell =2\times 0,52\times 150\mu \mathrm{m}=156\mu \mathrm{m}$, bien plus que ${\ell }_c\approx 1\mu \mathrm{m}$ : les franges disparaissent. Pour les retrouver, il faut ramener $\delta$ à zéro en raccourcissant de $d$ la voie de la lamelle, ou en allongeant d'autant l'autre : on déplace $M_1$ de $d$, vers la séparatrice si la lamelle est sur sa voie, en l'en éloignant sinon, avec $2d=2(n-1)\ell$ :

$$d=(n-1)\ell =0,52\times 150\mu \mathrm{m}=78\mu \mathrm{m}.$$

La vis donne ainsi $(n-1)\ell$, donc $\ell$ ou $n$. En lumière monochromatique, il faudrait suivre le défilement de $\frac{2(n-1)\ell }{\lambda }=\frac{156}{0,5461}\approx 286$ anneaux, sans en perdre un : impossible en pratique. La lumière blanche fournit un repère absolu, la frange achromatique, là où la lumière monochromatique ne donne qu'un repère à un nombre entier d'anneaux près. Limite du modèle : la dispersion du verre déplace légèrement ce repère ; on la néglige ici, et on le dit.

Ce que l'exercice installe. En lumière blanche, chaque couleur a son ordre $\delta /\lambda$ ; seuls quelques ordres autour de $\delta =0$ restent colorés (${\ell }_c\approx 1\mu \mathrm{m}$), et la frange achromatique repère la différence de marche nulle. C'est un outil de repérage absolu (contact optique, épaisseur d'une lame), qui exige une compensatrice.