Régler un Michelson en lame d'air : le protocole commenté

La stratégie. Chaque étape se justifie par un résultat de l'exercice 2 (les deux sources secondaires, la localisation à l'infini) ou par la loi des anneaux $\rho \approx f^{\prime }i$ et $p=2e\cos i/\lambda$. On procède du plus grossier au plus fin : la géométrie à l'œil, puis les interférences elles-mêmes, dix fois plus sensibles.

1) Le préréglage. Les deux images de la croix sont ses images par les deux voies, les sources secondaires $S_1$ et $S_2$ de l'exercice 2. Si $M_1\parallel M_2^{\prime }$, les deux images d'un même point sont sur la normale aux miroirs, l'une derrière l'autre : vues selon la normale, elles se superposent. Si $M_2^{\prime }$ fait un petit angle $\alpha$ avec $M_1$, l'image par $M_2^{\prime }$ tourne de $2\alpha$ (une rotation $\alpha$ d'un miroir tourne le faisceau réfléchi de $2\alpha$) : les deux images sont vues dans des directions séparées de $2\alpha$. L'œil les sépare dès que $2\alpha \gtrsim 3\times 10^{-4}\mathrm{rad}$ : la superposition garantit $\alpha \lesssim 1,5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, une trentaine de secondes d'arc.

2) Éclairage et observation. La source étendue, en faisceau convergent, fournit des rayons de toutes les inclinaisons $i$ jusqu'à quelques degrés, donc tout le champ d'anneaux, et la luminosité ; son extension n'est pas un défaut, puisque tous ses points donnent la même figure à l'infini. Il faut donc observer à l'infini, là où les franges sont localisées (localisation admise par le programme) : œil accommodé à l'infini, ou écran dans le plan focal d'une lentille, où l'inclinaison $i$ devient la distance $\rho =f^{\prime }\tan i\approx f^{\prime }i$ au centre. Un écran placé ailleurs recevrait une figure brouillée.

3) Le test fin. L'œil reçoit des rayons qui ont frappé une petite zone des miroirs, en face de sa pupille ; quand il se déplace, cette zone se déplace. Si les miroirs ne sont pas parallèles, l'épaisseur $e$ y change, donc l'ordre au centre $p_0=2e/\lambda$ : un anneau naît ou disparaît au centre chaque fois que $e$ varie de $\lambda /2$. Voir un seul anneau apparaître en balayant toute la largeur $D$ des miroirs révèle donc un angle $$\alpha =\frac{\lambda /2}{D}=\frac{546,1\times 10^{-9}}{2\times 0,02}\approx 1,4\times 10^{-5}\mathrm{rad}\approx 3^{\prime \prime }.$$

On perçoit même une fraction d'anneau : le test est dix fois plus sensible que la superposition des images. Figure immobile pendant le balayage : la lame d'air est réglée.

4) Le défilement, vers le contact. Un anneau brillant d'ordre $p$ fixé est à l'inclinaison $\cos i=\frac{p\lambda }{2e}$. Quand $e$ diminue, $\cos i$ augmente, donc $i$ diminue : l'anneau se resserre vers le centre, et il y disparaît quand $p_0=2e/\lambda$ devient inférieur à $p$. Les anneaux qui rentrent signalent donc une épaisseur qui diminue : c'est le bon sens pour marcher vers le contact, et chaque anneau englouti correspond à $\Delta e=\lambda /2$. Pour les petits angles, ${\rho }_k\approx f^{\prime }\sqrt{\lambda /e}\sqrt{k+\epsilon }$ (loi établie à l'exercice 4, $\epsilon$ étant l'excédent fractionnaire de l'ordre au centre) : l'échelle des rayons croît comme $1/\sqrt{e}$. Avec $f^{\prime }=1\mathrm{m}$ : $$e=2\mathrm{mm}:f^{\prime }\sqrt{\lambda /e}\approx 16,5\mathrm{mm};e=0,1\mathrm{mm}:\approx 73,9\mathrm{mm};e=20\mu \mathrm{m}:\approx 165\mathrm{mm}.$$ À $2\mathrm{mm}$, une dizaine d'anneaux fins tiennent dans un rayon de $5\mathrm{cm}$ ; à $0,1\mathrm{mm}$, seul le premier anneau, de rayon $73,9\sqrt{\epsilon }\mathrm{mm}$, peut se trouver à moins de $7\mathrm{cm}$ du centre, tous les suivants sont au-delà ; à $20\mu \mathrm{m}$, les suivants sont au-delà de $16\mathrm{cm}$ : l'écran n'est plus occupé que par la tache centrale, qui s'élargit. Au contact optique, $e=0$, la différence de marche est nulle dans toutes les directions : teinte plate, éclairement uniforme. Si l'on continue, $e$ change de signe et croît en valeur absolue : les anneaux sortent du centre. Le contact se repère au retournement du défilement.

Ce que l'exercice installe. Un protocole se justifie étape par étape avec les résultats du cours : sources secondaires, localisation à l'infini, ordre maximal au centre. Les interférences révèlent un défaut de parallélisme de $\lambda /2D$, quelques secondes d'arc ; le sens de défilement des anneaux dit si l'épaisseur croît ou décroît.