Le point de fonctionnement en quadrature

La stratégie. Avec $I_1=I_2=I_0$, la formule de Fresnel s'écrit $I=2I_0(1+\cos \Delta \phi )$, de maximum $4I_0$. La réponse à une petite variation de $\delta$ est réglée par la dérivée de $I$ : on cherche où elle est grande, et ce qui se passe où elle s'annule.

1) Mi-frange. $I=I_{\max }/2=2I_0$ si et seulement si $\cos \Delta \phi =0$, soit $\Delta \phi =\pi /2$ ou $3\pi /2$, c'est-à-dire $p=1/4$ ou $3/4$ (à un entier près) : le point est à mi-chemin entre une frange brillante et une frange sombre. On dit qu'il est en quadrature.

2) La sensibilité. Avec $\Delta \phi =2\pi \delta /\lambda$, $$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\delta }=-\frac{4\pi I_0}{\lambda }\sin \left(\frac{2\pi \delta }{\lambda }\right).$$ $S$ est maximale, égale à $4\pi I_0/\lambda$, quand $|\sin \Delta \phi |=1$ : en quadrature, là où $I=2I_0$. Elle est nulle sur les franges brillantes et sombres, extrema de $I$. Au voisinage, on développe le cosinus à l'ordre deux : $$\text{frange brillante : }I=2I_0(1+\cos \epsilon )\approx 4I_0-I_0{\epsilon }^2;$$ $$\text{frange sombre : }I=2I_0(1-\cos \epsilon )\approx I_0{\epsilon }^2.$$ Sur une frange, la réponse est quadratique : elle ne dépend pas du signe de $\epsilon$.

3) Linéaire ou quadratique. En quadrature, $\Delta \phi =\pi /2+\epsilon$ et $I=2I_0(1-\sin \epsilon )\approx 2I_0-2I_0{\epsilon }_1\sin (\Omega t)$ : le signal reproduit l'oscillation, à la même fréquence et avec son signe. Sur la frange sombre, $I\approx I_0{\epsilon }_1^2{\sin }^2(\Omega t)=\frac{1}{2}{I}_0{\epsilon }_1^2(1-\cos (2\Omega t))$ : le signal est d'ordre deux en ${\epsilon }_1$, il oscille à la fréquence double, et l'on ne sait plus dans quel sens a bougé la différence de marche. On règle donc un photodétecteur en sortie d'interféromètre en quadrature, et l'on l'y maintient par asservissement si la figure dérive.

4) Le vibromètre. Un déplacement $x$ change $\Delta \phi$ de $\epsilon =\frac{2\pi }{\lambda }2x=\frac{4\pi x}{\lambda }$. En quadrature, $\Delta I=2I_0\epsilon$, et la variation relative vaut $$\frac{\Delta I}{I}=\frac{2I_0\epsilon }{2I_0}=\frac{4\pi x}{\lambda }.$$ Elle est détectable si elle dépasse le bruit relatif $10^{-4}$ : $$x_{\min }=\frac{10^{-4}\lambda }{4\pi }=\frac{10^{-4}\times 633\times 10^{-9}}{12,6}\approx 5\times 10^{-12}\mathrm{m}=5\mathrm{pm}.$$ C'est vingt fois moins que la taille d'un atome (environ $0,1\mathrm{nm}$). Pas de paradoxe : c'est le déplacement moyen d'une surface de milliards d'atomes que l'on mesure. C'est le principe des vibromètres laser et, poussé à l'extrême, des détecteurs d'ondes gravitationnelles.

5) Pointer une frange sombre. Frange brillante : à la distance $\epsilon$ du centre, l'écart relatif d'éclairement vaut ${\epsilon }^2/4$. Si l'œil ne distingue pas deux éclairements qui diffèrent de moins de $2\%$ environ, toute la zone $|\epsilon |<2\sqrt{0,02}\approx 0,28\mathrm{rad}$ lui paraît également brillante : le sommet est « plat » sur près d'un dixième de frange. Frange sombre : $I\approx I_0{\epsilon }^2$ ; doubler la distance au centre multiplie l'éclairement par quatre, quelle que soit l'échelle : la variation relative reste grande jusqu'au centre, bien défini. On pointe donc les franges sombres.

Ce que l'exercice installe. La sensibilité d'une figure d'interférences est maximale en quadrature et nulle sur les franges, où la réponse devient quadratique. Une fraction de frange se mesure : l'interférométrie détecte des déplacements très inférieurs à la longueur d'onde. Le choix du point de mesure (mi-frange pour un détecteur, frange sombre pour l'œil) fait partie de l'expérience.