La phase sur un écran : quand une source est-elle « à l'infini » ?

La stratégie. On développe les phases au premier ordre non nul en $\rho /D$ et l'on compare le terme correctif à $2\pi$, c'est-à-dire, en chemin optique, à la longueur d'onde.

1) Les surfaces d'onde. Onde plane. $\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}=k(x\cos \alpha +y\sin \alpha )$, donc $$s(M,t)=a\cos (\omega t-k(x\cos \alpha +y\sin \alpha )+{\phi }_0),\underline{a}(M)=a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left(k(x\cos \alpha +y\sin \alpha )-{\phi }_0\right)}.$$ Les surfaces d'onde, $\phi (M)=\text{cte}$, ont pour équation $x\cos \alpha +y\sin \alpha =\text{cte}$ : ce sont des plans orthogonaux à $\overrightarrow{u}$ (ils contiennent la direction $Oz$), et deux plans où la phase diffère de $2\pi$ sont distants de ${\lambda }_0$. Onde sphérique. Avec $r=SM=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}$, $$s(M,t)=\frac{a_0}{r}\cos (\omega t-kr+{\phi }_0),\underline{a}(M)=\frac{a_0}{r}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(kr-{\phi }_0)}.$$ Les surfaces d'onde ont pour équation $r=\text{cte}$ : ce sont des sphères centrées sur $S$.

2) Linéaire ou quadratique. Onde plane : $\overrightarrow{u}=(\sin \theta ,0,\cos \theta )$, donc en $M(x,y,D)$ $$\phi (M)=k(x\sin \theta +D\cos \theta )-{\phi }_0:$$ la phase est une fonction affine de $x$ ; en incidence normale ($\theta =0$), elle est uniforme sur l'écran. Onde sphérique : $r=\sqrt{D^2+{\rho }^2}=D\sqrt{1+{\rho }^2/D^2}\approx D+\frac{{\rho }^2}{2D}$, donc $$\phi (M)\approx kD+\frac{k{\rho }^2}{2D}-{\phi }_0:$$ la phase est quadratique en $\rho$ ; les lignes d'égale phase sur l'écran sont des cercles.

3) Le disque où l'onde est plane. L'écart à l'onde plane d'incidence normale est le terme quadratique : il reste inférieur à $\pi$ si $$\frac{k{\rho }^2}{2D}<\pi ⟺\rho <\sqrt{{\lambda }_{0}D}=\sqrt{550\times 10^{-9}\times 1,0}\approx 0,74\mathrm{mm}.$$ À un mètre de sa source, une onde sphérique n'est plane que sur un disque de moins d'un millimètre de rayon. Le rayon ne croît que comme $\sqrt{D}$.

4) La source « à l'infini ». L'écart de chemin optique entre le bord et le centre de l'ouverture est $\sqrt{D^2+{\rho }^2}-D\approx {\rho }^2/2D$ ; il reste inférieur à ${\lambda }_0/4$ si $$D>\frac{2{\rho }^2}{{\lambda }_0}=\frac{2\times (5,0\times 10^{-3}{)}^2}{550\times 10^{-9}}\approx 91\mathrm{m}.$$ Impossible dans une salle de TP : on place donc la source au foyer objet d'une lentille convergente : par la propriété des points conjugués, l'onde émergente est plane, comme le problème de cette séance l'établira. « À l'infini » ne veut pas dire $D\gg \rho$ (ici $D=1\mathrm{m}$ serait deux cents fois $\rho$), mais $D\gg {\rho }^2/{\lambda }_0$.

5) L'amplitude oui, la phase jamais. Quand $r$ varie de $\mathrm{d}r$, l'amplitude $a_0/r$ varie de $-a_0\mathrm{d}r/r^2$, soit en valeur relative $\mathrm{d}r/r$ ; la phase varie de $k\mathrm{d}r$. Le rapport des deux taux est $$\frac{1/D}{k}=\frac{{\lambda }_0}{2\pi D}\approx 8,8\times 10^{-8}\text{pour }D=1,0\mathrm{m}.$$ Sur l'ouverture de la question 4, $r$ varie de ${\rho }^2/2D=12,5\mu \mathrm{m}$ : l'amplitude varie de ${\rho }^2/2D^2=1,25\times 10^{-5}$ en valeur relative, la phase de $k{\rho }^2/2D\approx 1,4\times 10^2\mathrm{rad}$, plus de vingt tours. On remplace donc l'amplitude par la constante $a_0/D$ (erreur d'un cent-millième), jamais la phase (erreur de cent quarante radians).

6) Le passage à l'onde plane. En $M(x,y,D)$, $S{M}^2=(x+X{)}^2+y^2+D^2=D^{\prime 2}+2xX+{\rho }^2$ ; en développant $SM=D^{\prime }\sqrt{1+(2xX+{\rho }^2)/D^{\prime 2}}$ jusqu'à l'ordre deux en $x/D^{\prime }$ et $y/D^{\prime }$, avec $X/D^{\prime }=\sin \theta$ : $$\phi (M)\approx k{D}^{\prime }+kx\sin \theta +\frac{k\left({\rho }^2-x^2{\sin }^2\theta \right)}{2D^{\prime }}-{\phi }_0.$$ Quand $D^{\prime }\to \infty$ à $\theta$ fixé, le terme quadratique disparaît : il reste $kx\sin \theta$ plus une constante, c'est-à-dire la phase de l'onde plane de direction $\theta$ trouvée à la question 2. La position transversale de la source se traduit en direction de l'onde plane.

Ce que l'exercice installe. Sur un écran, une phase linéaire signe une onde plane, une phase quadratique $k{\rho }^2/2D$ une onde sphérique. Le critère « à l'infini » porte sur la phase : $D\gg {\rho }^2/{\lambda }_0$. Dans un calcul d'interférences, on garde la phase exacte au premier ordre utile et l'on approche l'amplitude par une constante. Ces deux phases reviendront dans le problème (une lentille impose une phase quadratique) et dans l'étude des trous d'Young.