Le champ d'une onde lumineuse : intensité, ordres de grandeur, linéarité

La stratégie. Une seule formule est donnée ; tout le reste est affaire d'ordres de grandeur. Le but est d'établir deux faits qui fondent tout le cours : l'intensité est une puissance par unité de surface, proportionnelle à la moyenne du carré de la vibration ; et le champ de la lumière ordinaire est si faible devant les champs atomiques que la matière y répond linéairement, ce qui permet d'additionner les vibrations.

1) La grandeur scalaire et l'intensité. Les détecteurs sont sensibles au champ électrique, qui exerce les forces sur les électrons de la matière. Si la direction du champ est fixe, une seule composante le décrit entièrement : on pose $s=E$. Pour $s=E_0\cos (\omega t-\phi )$, la moyenne de ${\cos }^2$ sur une durée grande devant la période vaut $1/2$, donc

$$I={\epsilon }_{0}c⟨E^2⟩=\frac{{\epsilon }_{0}c{E}_0^2}{2}.$$

Homogénéité : ${\epsilon }_0{E}^2$ est une densité volumique d'énergie, en $\mathrm{J}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ ; multipliée par une vitesse, elle donne des $\mathrm{J}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, soit des $\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$ : une puissance par unité de surface. En optique ondulatoire, on compare presque toujours des intensités entre elles (une frange brillante et une frange sombre) : seuls comptent les rapports, et la constante $K$ peut être choisie librement ; le cours prend $K=2$, d'où $I=a^2$. Dès qu'on veut une valeur absolue, une puissance reçue par un capteur, il faut revenir à $K={\epsilon }_{0}c$.

2) Le Soleil. De $I={\epsilon }_{0}c{E}_0^2/2$ :

$$\begin{array}{rl}{E}_0& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =\sqrt{\frac{2\times 1,0\times 10^3}{8,85\times 10^{-12}\times 3,00\times 10^8}}\approx 8,7\times 10^2\mathrm{V}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}.\end{array}$$

Moins d'un kilovolt par mètre : un champ modeste, quelques fois le champ électrique de l'atmosphère par beau temps. La lumière solaire n'est pas monochromatique : $E_0$ est ici une amplitude efficace multipliée par $\sqrt{2}$, ce qui suffit pour un ordre de grandeur.

3) Le laser de TP. L'intensité est la puissance divisée par la section du faisceau :

$$I=\frac{P}{\pi d^2/4}=\frac{1,0\times 10^{-3}}{\pi \times (0,50\times 10^{-3}{)}^2}\approx 1,3\times 10^3\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2},E_0\approx 9,8\times 10^2\mathrm{V}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}.$$

Un milliwatt dans un millimètre carré, c'est autant que le Soleil au sol. Le danger vient de ce que le faisceau est parallèle : l'œil le concentre en un point minuscule de la rétine, alors que l'image du Soleil, qui a un diamètre apparent d'un demi-degré, est une tache étendue. L'intensité sur la rétine est alors bien plus grande pour le laser : on ne regarde jamais le faisceau, ni sa réflexion sur une surface brillante.

4) Le champ atomique et la linéarité.

$$E_{\mathrm{at}}=\frac{1,6\times 10^{-19}}{4\pi \times 8,85\times 10^{-12}\times (5,3\times 10^{-11}{)}^2}\approx 5,1\times 10^{11}\mathrm{V}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}.$$

Le rapport $E_0/E_{\mathrm{at}}$ vaut $1,7\times 10^{-9}$ pour le Soleil et $1,9\times 10^{-9}$ pour le laser. La lumière ne déforme le nuage électronique que d'une fraction de l'ordre du milliardième : la réponse de l'atome (le dipôle qu'il acquiert, d'où proviennent l'indice et l'absorption) est le premier terme d'un développement en puissances de $E/E_{\mathrm{at}}$, donc proportionnelle à $E$ ; les termes suivants sont un milliard de fois plus petits. Conséquences : l'indice ne dépend pas de l'intensité, l'équation de propagation est linéaire, et si $s_1$ et $s_2$ en sont solutions, $s_1+s_2$ aussi. Les vibrations s'additionnent ; c'est le principe de superposition sur lequel reposent tous les chapitres d'interférences. Ce sont les vibrations qui s'ajoutent, pas les intensités : l'intensité, quadratique en $s$, contiendra un terme croisé.

5) Le cas limite. La puissance crête vaut $P=1,0\times 10^{-3}/1,0\times 10^{-13}=1,0\times 10^{10}\mathrm{W}$, soit dix gigawatts, sur une surface $\pi \times (5,0\times 10^{-6}{)}^2\approx 7,9\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^2$ :

$$I\approx 1,3\times 10^{20}\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2},E_0=\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\approx 3,1\times 10^{11}\mathrm{V}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\approx 0,6E_{\mathrm{at}}.$$

Le champ de la lumière est alors du même ordre que le champ qui tient l'électron : la réponse n'est plus linéaire, la matière émet des harmoniques (doublement de fréquence) et s'ionise. C'est le domaine de l'optique non linéaire ; le principe de superposition y tombe. Dans des cristaux choisis, des effets non linéaires apparaissent bien avant ce seuil parce qu'ils s'accumulent sur la longueur traversée, mais ils restent négligeables pour toute source usuelle : lampe, Soleil, laser continu de TP.

Ce que l'exercice installe. L'intensité est une puissance par unité de surface, proportionnelle à $⟨s^2⟩$ ; la constante est arbitraire pour des comparaisons et vaut ${\epsilon }_{0}c$ pour des watts. Le champ d'une onde lumineuse usuelle vaut le milliardième du champ atomique : c'est ce qui rend la matière linéaire et autorise à additionner les vibrations, fondement de toute la suite. Et un ordre de grandeur à retenir : un laser d'un milliwatt est aussi intense que le Soleil.