Ce que voit le détecteur : battements optiques ou additivité des intensités

La stratégie. Le détecteur ne mesure pas $s$, mais une moyenne glissante de $s^2$. On développe le carré : chaque produit est une somme de cosinus de pulsations différentes, et l'on compare chacune de ces pulsations à $1/{\tau }_R$. Ce qui oscille vite devant $1/{\tau }_R$ se moyenne à zéro ; ce qui oscille lentement survit.

1) Les temps de réponse. L'œil intègre sur environ ${\tau }_R\approx 0,1\mathrm{s}$ (la persistance rétinienne) ; un capteur photographique numérique, pendant la durée de pose, de la milliseconde à la seconde ; une photodiode rapide répond en une nanoseconde environ. La période d'une onde visible vaut $\lambda /c\approx (600\times 10^{-9})/(3\times 10^8)=2\times 10^{-15}\mathrm{s}$ : tous les récepteurs sont au moins un million de fois plus lents que l'onde, et c'est pourquoi aucun ne voit l'oscillation du champ.

2) Le terme d'interférence est une moyenne. On développe $$s^2=s_1^2+s_2^2+2s_1{s}_2.$$ Les deux carrés. $s_1^2=\frac{1}{2}{a}_1^2[1+\cos (2{\omega }_{1}t-2{\phi }_1)]$ ; le cosinus oscille à $2{\omega }_1$ et se moyenne à zéro sur ${\tau }_R$, qui contient au moins un million de ses périodes. Il reste $K⟨s_1^2⟩=\frac{1}{2}K{a}_1^2=I_1$, et de même $I_2$.

Le double produit. On linéarise : $$2s_1{s}_2=a_1{a}_2[\cos (\Delta \omega t-\Delta \phi )+\cos (({\omega }_1+{\omega }_2)t-{\phi }_1-{\phi }_2\left)\right].$$ Le second terme oscille à ${\omega }_1+{\omega }_2$ et se moyenne à zéro pour la même raison. Le premier oscille à la pulsation lente $\Delta \omega$, et sa moyenne sur $[t-{\tau }_R,t]$ se calcule : $$\frac{1}{{\tau }_R}{\int }_{t-{\tau }_R}^t\cos (\Delta \omega t^{\prime }-\Delta \phi )\mathrm{d}{t}^{\prime }=\frac{\sin (\Delta \omega t-\Delta \phi )-\sin (\Delta \omega (t-{\tau }_R)-\Delta \phi )}{\Delta \omega {\tau }_R}.$$ La formule $\sin p-\sin q=2\cos \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ donne $$\frac{\sin (\Delta \omega {\tau }_R/2)}{\Delta \omega {\tau }_R/2}\cos \left(\Delta \omega \right(t-\frac{{\tau }_R}{2})-\Delta \phi ),$$ avec $\Delta \omega {\tau }_R/2=\pi \Delta f{\tau }_R$. Enfin $K{a}_1{a}_2=2\sqrt{I_1{I}_2}$, puisque $I_1{I}_2=\frac{1}{4}{K}^2{a}_1^2{a}_2^2$. D'où le résultat annoncé.

Limite $\Delta \omega \to 0$. $\mathrm{sinc}(x)\to 1$ et le cosinus tend vers $\cos \Delta \phi$ : on retrouve $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \Delta \phi$, la formule de Fresnel, que le problème établit directement pour deux ondes synchrones.

Interprétation. Le terme d'interférence est multiplié par $|\mathrm{sinc}(\pi \Delta f{\tau }_R)|$, presque $1$ si $\Delta f{\tau }_R\ll 1$, inférieur à $1/(\pi \Delta f{\tau }_R)$ si $\Delta f{\tau }_R\gg 1$. Deux ondes sont quasi synchrones pour un détecteur donné si leur écart de fréquence est petit devant $1/{\tau }_R$ : la notion est relative au récepteur. Homogénéité : $\Delta f{\tau }_R$ est sans dimension.

3) Deux lasers à 300 MHz l'un de l'autre. $f=c/\lambda =3,00\times 10^8/632,8\times 10^{-9}=4,74\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, d'où $\Delta f/f=6,3\times 10^{-7}$ : les deux lasers sont identiques à moins d'un millionième près.

• L'œil : $\Delta f{\tau }_R=3\times 10^8\times 0,1=3\times 10^7\gg 1$ ; le facteur est inférieur à $1/(\pi \times 3\times 10^7)\approx 10^{-8}$. L'œil voit $I=I_1+I_2$ : un éclairement uniforme, aucune frange. Si les faisceaux se croisent sous un angle, les franges existent à chaque instant, mais elles défilent d'un interfrange toutes les $1/\Delta f=3,3\mathrm{ns}$ : l'œil n'en voit que la moyenne.
• La photodiode : $\Delta f{\tau }_R=0,3$, et $\mathrm{sinc}(0,3\pi )=\sin (0,94)/0,94\approx 0,86$. Le signal vaut $I_1+I_2+0,86\times 2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (2\pi \Delta ft+\text{cte})$ : il oscille à 300 MHz, avec une modulation de $86\%$ de celle des franges idéales. Ce sont des battements optiques.

L'usage. 300 MHz se comptent avec un fréquencemètre électronique, alors qu'aucun circuit ne suit $4,7\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ : mélanger sur une photodiode un faisceau inconnu et un laser de référence ramène leur écart de fréquence dans le domaine électronique. C'est la détection hétérodyne (vélocimétrie par effet Doppler, télécommunications).

4) Deux sources incohérentes. Pendant chaque intervalle de durée ${\tau }_c$, le déphasage $\Delta \phi$ est constant, puis il est tiré au hasard. Sur la durée ${\tau }_R$, le terme d'interférence est la moyenne de $n={\tau }_R/{\tau }_c$ valeurs de $\cos \Delta \phi$, indépendantes, de signes aléatoires et de moyenne nulle. Une telle moyenne est nulle en moyenne, et ses fluctuations sont de l'ordre de $1/\sqrt{n}$ :

• pour l'œil, $n=10^9$ : fluctuation relative $3\times 10^{-5}$, l'additivité est parfaite ;
• pour la photodiode, $n=10$ : le terme d'interférence vaut environ $\pm 30\%$, de signe aléatoire d'une nanoseconde à l'autre ; aucune figure stable, et la moyenne des mesures donne $I_1+I_2$.

Pour deux lasers indépendants de même fréquence moyenne, la conclusion est la même : leurs phases dérivent indépendamment, $\Delta \phi (t)$ n'est pas constant sur le temps d'intégration, et $⟨\cos \Delta \phi ⟩=0$ ; des franges fugaces n'apparaîtraient qu'à une détection plus rapide que la dérive. Les intensités de sources distinctes s'additionnent. Pour observer des interférences stables, il faut diviser la lumière d'une même source : les deux ondes portent alors la même phase aléatoire, qui disparaît de leur différence $\Delta \phi$.

Ce que l'exercice installe. Le terme d'interférence est une moyenne sur le temps de réponse du détecteur : il survit si et seulement si $\Delta \phi$ reste stable pendant ${\tau }_R$. Les conditions d'interférence du cours se lisent sur ce seul calcul, et l'additivité des intensités en est le cas général. Le raisonnement reviendra pour la cohérence temporelle.