La demi-largeur des pics d'un réseau, et combien de traits pour séparer un doublet

La stratégie. La somme de $N$ ondes en progression arithmétique de phase est une somme géométrique, dont on tire les zéros, donc la largeur des pics. La relation fondamentale convertit un déphasage en angle ; sa dérivée donne la séparation des raies. Comparer séparation et largeur donne le nombre de traits. Les deux raies étant incohérentes, on observe la somme des intensités de leurs deux figures.

1) La demi-largeur $2\pi /N$. En notation complexe, l'onde du trait $k$ ($k=0,\dots ,N-1$) a l'amplitude $a_0{e}^{-ik\phi }$. Pour $\phi \not\equiv 0$ modulo $2\pi$, la raison $e^{-i\phi }$ est différente de $1$ et

$$\underline{a}=a_0\sum _{k=0}^{N-1}{e}^{-ik\phi }=a_0\frac{1-e^{-iN\phi }}{1-e^{-i\phi }}.$$

On factorise par l'exponentielle de l'angle moitié : $1-e^{-iN\phi }=e^{-iN\phi /2}(e^{iN\phi /2}-e^{-iN\phi /2})=2i{e}^{-iN\phi /2}\sin (N\phi /2)$, et de même au dénominateur. Le module des exponentielles vaut $1$, d'où

$$I=I_0\frac{{\sin }^2(N\phi /2)}{{\sin }^2(\phi /2)}.$$

Maxima principaux. En $\phi =2m\pi$, toutes les ondes sont en phase : $\underline{a}=N{a}_0$ et $I=N^2{I}_0$, ce qui est aussi la limite du quotient (les deux sinus sont équivalents à $N\phi /2$ et $\phi /2$ au voisinage de $0$). Zéros. $I=0$ si et seulement si le numérateur s'annule sans que le dénominateur s'annule : $N\phi /2=k\pi$ avec $k$ non multiple de $N$, soit $\phi =2k\pi /N$. Demi-largeur. Autour du maximum $\phi =2m\pi$, les zéros les plus proches sont $2m\pi \pm 2\pi /N$ ; entre eux, $I$ ne s'annule pas. Le pic principal s'étend donc d'un zéro à l'autre, et sa demi-largeur, du sommet au premier zéro, vaut

$$\Delta {\phi }_{1/2}=\frac{2\pi }{N}.$$

Entre deux maxima principaux, il y a $N-1$ zéros et $N-2$ maxima secondaires ; le premier, vers $\phi \approx 3\pi /N$, vaut environ $I_0/{\sin }^2(3\pi /2N)\approx 0,045N^2{I}_0$ pour $N\gg 1$ : moins de $5\%$ du pic. Cas $N=2$ : demi-largeur $\pi$, la moitié de la période : ce sont les franges larges de deux ondes.

2) La demi-largeur angulaire. En incidence normale, $\phi =\frac{2\pi a\sin \theta }{\lambda }$, qui vaut $2m\pi$ en ${\theta }_m$. Le premier zéro est atteint pour ${\theta }_m+\Delta {\theta }_{1/2}$ tel que $\phi$ ait augmenté de $2\pi /N$. Pour un petit écart, $\sin ({\theta }_m+\Delta \theta )\approx \sin {\theta }_m+\cos {\theta }_m\Delta \theta$, donc

$$\frac{2\pi a\cos {\theta }_m}{\lambda }\Delta {\theta }_{1/2}=\frac{2\pi }{N}⟹\Delta {\theta }_{1/2}=\frac{\lambda }{Na\cos {\theta }_m}=\frac{\lambda }{L\cos {\theta }_m}.$$

Application. $N=L/a=10\mathrm{mm}\times 600\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}=6000$. $\sin {\theta }_1=\lambda /a=589,3\times 10^{-9}/1,667\times 10^{-6}=0,3536$, ${\theta }_1=20,71^{\circ }$, $\cos {\theta }_1=0,935$ :

$$\begin{array}{rl}\Delta {\theta }_{1/2}& =\frac{589,3\times 10^{-9}}{1,0\times 10^{-2}\times 0,935}\\ & =6,3\times 10^{-5}\mathrm{rad}\approx 13^{\prime \prime }.\end{array}$$

Interprétation. Le pas $a$ s'est simplifié : à angle donné, c'est la largeur éclairée $L$, et non le pas, qui fixe la finesse des pics. Homogénéité : $\lambda /L$ est sans dimension, comme un angle en radians.

3) La dispersion. À $m$ fixé, on différentie $a\sin \theta =m\lambda$ : $a\cos \theta \mathrm{d}\theta =m\mathrm{d}\lambda$, d'où

$$\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\lambda }=\frac{m}{a\cos \theta }.$$

Application. À l'ordre $1$,

$$\begin{array}{rl}\Delta {\theta }_{\mathrm{doublet}}& =\frac{\Delta \lambda }{a\cos {\theta }_1}\\ & =\frac{0,6\times 10^{-9}}{1,667\times 10^{-6}\times 0,935}\\ & =3,85\times 10^{-4}\mathrm{rad}\approx 1,3^{\prime }.\end{array}$$

C'est un peu plus que la minute d'arc de lecture : on pointe séparément les deux raies, mais de justesse. L'écart croît avec $m$, car la différence de marche $m\lambda$ entre traits voisins, donc sa sensibilité à $\lambda$, est multipliée par $m$ ; et avec $1/a$, car entre traits plus serrés la direction doit tourner davantage pour rétablir l'accord des phases. La dispersion ne dépend pas de $N$.

4) Le nombre de traits. Les pics des deux raies, centrés à $\Delta {\theta }_{\mathrm{doublet}}$ l'un de l'autre et de même demi-largeur $\Delta {\theta }_{1/2}$ (les deux longueurs d'onde sont trop proches pour distinguer leurs demi-largeurs), ont des intervalles $[\theta -\Delta {\theta }_{1/2},\theta +\Delta {\theta }_{1/2}]$ disjoints si et seulement si l'écart de leurs centres dépasse la somme de leurs demi-intervalles :

$$\frac{m\Delta \lambda }{a\cos {\theta }_m}\ge 2\frac{\lambda }{Na\cos {\theta }_m}⟺N\ge \frac{2\lambda }{m\Delta \lambda }.$$

Le facteur $a\cos {\theta }_m$ se simplifie : la condition ne dépend ni du pas ni de l'angle, seulement du nombre de traits éclairés et de l'ordre.

Doublet du sodium. $2\lambda /\Delta \lambda =2\times 589,3/0,6=1964$. À l'ordre $1$, il faut $N\ge 1965$ traits, soit $L=N/600\ge 3,3\mathrm{mm}$ ; à l'ordre $2$, $N\ge 983$ traits, $L\ge 1,6\mathrm{mm}$. Doublet du mercure : $N\ge 2\times 578,05/2,1\approx 551$ traits à l'ordre $1$, soit $0,92\mathrm{mm}$ : un doublet trois fois et demie plus large demande trois fois et demie moins de traits. Le réseau éclairé sur $1\mathrm{cm}$ compte $6000$ traits, trois fois plus que nécessaire : l'écart du doublet y vaut $3,85\times 10^{-4}/6,3\times 10^{-5}\approx 6$ demi-largeurs, deux raies nettes sur fond noir.

5) Refermer la fente. La fente fixe $L$, donc $N=L/a$. En la refermant, les raies ne se déplacent pas (la dispersion ne dépend pas de $N$), mais elles s'élargissent comme $1/L$ et s'assombrissent. Pour $L\ge 3,3\mathrm{mm}$, les pics sont disjoints ; en dessous, leurs pieds empiètent, mais deux sommets restent visibles. L'écart des raies, compté en demi-largeurs, vaut

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{\Delta {\theta }_{\mathrm{doublet}}}{\Delta {\theta }_{1/2}}\\ & =\frac{Nm\Delta \lambda }{\lambda }\\ & =\frac{Lm\Delta \lambda }{a\lambda };\end{array}$$

il vaut $1$ pour $L=a\lambda /(m\Delta \lambda )=1,64\mathrm{mm}$, où le creux n'est plus que de $19\%$, et $0,85$ pour $L\approx 1,4\mathrm{mm}$, où il disparaît. On s'attend donc à voir les deux raies se fondre en une seule pour une fente d'environ $1,5\mathrm{mm}$. L'expérience vérifie la loi en $1/N$ (à l'ordre $2$, la fente peut être deux fois plus étroite) ; réciproquement, elle donne l'ordre de grandeur de l'écart du doublet.

6) Cas limites et cohérence. (a) La meilleure séparation. La condition s'écrit $\Delta \lambda \ge \frac{2\lambda }{mN}$. En incidence normale, $|m|\le a/\lambda$, donc $mN\le Na/\lambda =L/\lambda$ et

$$\Delta \lambda \ge \frac{2{\lambda }^2}{L}.$$

Pour $L=5\mathrm{cm}$ et $\lambda =500\mathrm{nm}$ : $\Delta {\lambda }_{\min }=2\times (5\times 10^{-7}{)}^2/0,05=1\times 10^{-11}\mathrm{m}=0,01\mathrm{nm}$, soit $\lambda /\Delta \lambda =5\times 10^4$. Seule compte la largeur totale du réseau. Cas $N=2$ : la condition n'est satisfaite pour aucun doublet réel ; des franges larges ne séparent rien.

(b) Le lien avec la cohérence temporelle. À l'ordre $m$, la différence de marche entre traits consécutifs est $a\sin {\theta }_m=m\lambda$ ; entre les traits extrêmes, séparés de $(N-1)a\approx Na$, elle vaut ${\delta }_{\max }\approx Nm\lambda$. Le réseau superpose donc des copies de l'onde retardées de $0$ à $\Delta t={\delta }_{\max }/c$. La condition $N\ge 2\lambda /(m\Delta \lambda )$ s'écrit $Nm\lambda \ge 2{\lambda }^2/\Delta \lambda$, soit, avec $\Delta f=c\Delta \lambda /{\lambda }^2$ :

$$\frac{{\delta }_{\max }}{c}\ge \frac{2}{\Delta f}⟺\Delta f\cdot \Delta t\ge 2.$$

C'est la relation $\Delta f\cdot \Delta t\sim 1$ du modèle d'émission, lue de l'autre côté : pour distinguer deux fréquences écartées de $\Delta f$, un dispositif doit comparer l'onde à elle-même sur une durée de l'ordre de $1/\Delta f$, pendant laquelle elles se déphasent d'un tour. L'exercice 6 des travaux dirigés, sur les trains d'onde, le disait en sens inverse : une raie de largeur $\Delta f$ ne donne des franges que pour des retards inférieurs à $1/\Delta f$.

Le résultat obtenu — demi-largeur des pics principaux et nombre de traits qui sépare un doublet. La superposition de $N$ ondes de même amplitude en progression arithmétique de phase donne des pics principaux d'intensité $N^2{I}_0$, de demi-largeur $2\pi /N$ en déphasage ; pour un réseau, cette demi-largeur vaut $\lambda /(L\cos {\theta }_m)$ en angle, fixée par la largeur éclairée. Deux raies d'écart $\Delta \lambda$ donnent à l'ordre $m$ des pics qui ne se recouvrent pas si et seulement si $N\ge 2\lambda /(m\Delta \lambda )$, indépendamment du pas. Pour le doublet du sodium, quelques millimètres de réseau suffisent.

Ce que le problème installe. La seule capacité calculatoire du programme sur $N$ ondes, établie : la somme géométrique, ses zéros, la demi-largeur $2\pi /N$. Puis son exploitation : traduire un déphasage en angle, comparer une largeur de pic à une séparation de pics, et en tirer une condition sur ce que l'on règle au laboratoire, la largeur éclairée.