Trains d'onde : d'où vient le critère $|\delta |\lesssim {\ell }_c$

La stratégie. Deux copies issues du même train ont la même phase aléatoire, qui disparaît de leur déphasage : elles interfèrent. Deux copies issues de trains différents, comme les deux lampes de l'exercice 1, additionnent leurs intensités. Le contraste est la proportion du temps où la première situation se produit.

1) La probabilité de recouvrement. Soit $u$ l'instant d'émission de la copie 1, compté depuis le début de son train, uniformément réparti dans $[0,{\tau }_c]$. La copie 2 qui la rejoint a été émise $\tau$ plus tôt, à l'instant $u-\tau$ : elle appartient au même train si et seulement si $u-\tau \ge 0$, c'est-à-dire $u\ge \tau$. La probabilité vaut donc la fraction de l'intervalle $[0,{\tau }_c]$ où $u\ge \tau$ : $$P=\frac{{\tau }_c-\tau }{{\tau }_c}=1-\frac{\tau }{{\tau }_c}(\tau <{\tau }_c),P=0(\tau \ge {\tau }_c).$$

2) La loi de contraste. Pendant la fraction $P$ du temps, l'intensité vaut $2I_0(1+\cos \Delta \phi )$ ; pendant la fraction $1-P$, le terme d'interférence a un signe aléatoire et l'intensité vaut $2I_0$ en moyenne. Le détecteur, qui moyenne sur un très grand nombre de trains, mesure $$I=P\cdot 2I_0(1+\cos \Delta \phi )+(1-P)\cdot 2I_0=2I_0[1+P\cos \frac{2\pi \delta }{\lambda }].$$ Avec $\tau /{\tau }_c=\delta /(c{\tau }_c)=\delta /{\ell }_c$, le contraste est $V(\delta )=1-\delta /{\ell }_c$ pour $\delta \le {\ell }_c$, et $0$ au-delà. Cas limites : en $\delta =0$, les deux copies sont toujours issues du même train : $V=1$, quelle que soit la source. Pour $\delta \ge {\ell }_c$, elles ne le sont jamais : $V=0$, et l'on retrouve l'additivité des intensités. Le contraste décroît donc à l'échelle de ${\ell }_c$ : les franges ne sont bien visibles que pour $|\delta |\lesssim {\ell }_c$, ce qui justifie le critère du cours. Dans une source réelle, la forme de $V(\delta )$ dépend du spectre, mais son échelle reste ${\ell }_c$.

3) Du spectre à la longueur de cohérence. $f=c/\lambda$, donc $|\Delta f|=c\Delta \lambda /{\lambda }^2$. Avec ${\tau }_c\sim 1/\Delta f$, $${\ell }_c=c{\tau }_c\sim \frac{c}{\Delta f}=\frac{{\lambda }^2}{\Delta \lambda }.$$ Le nombre de franges visibles est l'ordre d'interférence maximal, $p_{\max }={\ell }_c/\lambda \sim \lambda /\Delta \lambda$ : une source est d'autant plus cohérente que sa raie est fine.

4) Ordres de grandeur.

• Lumière blanche : ${\ell }_c\approx 550^2/300\mathrm{nm}\approx 1,0\mu \mathrm{m}$, ${\tau }_c={\ell }_c/c\approx 3\times 10^{-15}\mathrm{s}$, environ deux franges.
• Diode rouge : ${\ell }_c\approx 630^2/20\mathrm{nm}\approx 20\mu \mathrm{m}$, ${\tau }_c\approx 7\times 10^{-14}\mathrm{s}$, une trentaine de franges.
• Raie du sodium : ${\ell }_c\approx 589^2/0,01\mathrm{nm}\approx 3,5\mathrm{cm}$, ${\tau }_c\approx 1\times 10^{-10}\mathrm{s}$, environ $6\times 10^4$ franges.
• Laser à plusieurs modes : ${\ell }_c\sim c/\Delta f=3\times 10^8/1,5\times 10^9=0,20\mathrm{m}$, ${\tau }_c\approx 7\times 10^{-10}\mathrm{s}$, environ $3\times 10^5$ franges.

De la lumière blanche au laser, la longueur de cohérence gagne cinq ordres de grandeur. En lumière blanche, chaque longueur d'onde donne son système de franges, de période différente : en $\delta =0$, toutes sont brillantes (frange centrale blanche) ; quelques franges plus loin, elles sont décalées (teintes irisées) ; au-delà de ${\ell }_c$, en chaque point, certaines couleurs sont brillantes et d'autres éteintes, et l'œil voit un éclairement uniforme blanchâtre, le blanc d'ordre supérieur.

5) La mesure. Les franges disparaissent pour $\delta \approx {\ell }_c\approx 25\mu \mathrm{m}$, donc $$\Delta \lambda \approx \frac{{\lambda }^2}{{\ell }_c}=\frac{(630\times 10^{-9}{)}^2}{25\times 10^{-6}}\approx 1,6\times 10^{-8}\mathrm{m}=16\mathrm{nm}.$$ C'est un ordre de grandeur, « une quinzaine de nanomètres » : la largeur typique d'une diode électroluminescente.

Ce que l'exercice installe. Le brouillage par cohérence temporelle est l'additivité des intensités appliquée aux trains différents ; le contraste mesure la fraction de recouvrement des trains. La chaîne ${\ell }_c=c{\tau }_c\sim c/\Delta f={\lambda }^2/\Delta \lambda$ et le compte des franges $\lambda /\Delta \lambda$ classent toutes les sources, et une perte de franges mesure une largeur spectrale.