Trois ondes, puis $N$ : le polygone des phaseurs

La stratégie. Plutôt que de sommer des cosinus, on somme des nombres complexes, ou, ce qui revient au même, des vecteurs : la longueur du vecteur somme donne l'amplitude, son carré l'intensité. Pour la largeur des pics, un bilan suffit : la moyenne de l'intensité est fixée par l'énergie, la hauteur des pics par l'accord des phases.

1) Trois ondes. $\underline{a}=a(1+e^{-i\phi }+e^{-2i\phi })=a{e}^{-i\phi }(e^{i\phi }+1+e^{-i\phi })=a{e}^{-i\phi }(1+2\cos \phi )$. Le module de $e^{-i\phi }$ vaut $1$, donc

$$I=I_0(1+2\cos \phi {)}^2.$$

Vérification : $\sin (3x)=\sin x(3-4{\sin }^{2}x)=\sin x(1+2\cos 2x)$ ; avec $x=\phi /2$, $\frac{\sin (3\phi /2)}{\sin (\phi /2)}=1+2\cos \phi$, ce qui redonne la formule du cours pour $N=3$.

2) Le polygone. Les trois phaseurs ont la même longueur $a$, et chacun est tourné de $\phi$ par rapport au précédent.

• Maximum : pour $\phi \equiv 0$ modulo $2\pi$, ils sont alignés ; la somme a la longueur $3a$ et $I=9I_0=N^2{I}_0$.
• Zéros : $1+2\cos \phi =0$, soit $\phi =2\pi /3$ ou $4\pi /3$ ; les trois phaseurs forment alors un triangle équilatéral qui se referme et la somme est nulle.
• Entre les deux zéros, en $\phi =\pi$, le deuxième phaseur annule le premier et il reste le troisième : $I=I_0$, un maximum secondaire, neuf fois plus faible que le maximum principal.

Pour deux ondes, $I=4I_0{\cos }^2(\phi /2)$ : un seul zéro par période, en $\pi$, et le pic s'étend de $-\pi$ à $\pi$. Avec trois ondes, le pic principal va de $-2\pi /3$ à $2\pi /3$ : il s'est affiné, et la règle se devine : le polygone de $N$ phaseurs se referme pour la première fois quand il a fait un tour complet, $N\phi =2\pi$.

3) Le bilan d'énergie. $|\underline{a}{|}^2=a^2{\sum }_k{\sum }_l{e}^{-i(k-l)\phi }$. La moyenne de $e^{-i(k-l)\phi }$ sur une période vaut $1$ si $k=l$ et $0$ sinon : les termes croisés se moyennent à zéro, et il reste les $N$ termes diagonaux,

$$⟨I{⟩}_{\phi }=N{I}_0.$$

(Pour $N=3$ : $⟨(1+2\cos \phi {)}^2⟩=1+0+4\times \frac{1}{2}=3$.) La lumière n'est pas créée par les interférences : en moyenne, on retrouve la somme des intensités. Or, sur une période de longueur $2\pi$, l'intensité culmine à $N^2{I}_0$ dans un pic de largeur $w$. Si ce pic contient l'essentiel de l'énergie, son aire $\approx N^2{I}_{0}w$ égale celle de la moyenne, $2\pi N{I}_0$, d'où

$$w\sim \frac{2\pi }{N}.$$

La hauteur croît comme $N^2$ et la largeur décroît comme $1/N$ : le nombre d'ondes fixe la finesse. Pour $N=6000$, les pics atteignent $3,6\times 10^7{I}_0$ et leur largeur est de l'ordre de $10^{-3}\mathrm{rad}$ en déphasage : entre deux pics, l'intensité est quasi nulle. Le tracé de la capacité numérique du cours le montre pour $N=2$, $5$ et $20$.

Ce que l'exercice installe. Sommer des phaseurs : un zéro d'intensité est un polygone qui se referme, un maximum principal un polygone déplié. Et un argument d'énergie qui donne, sans calcul de zéro, le lien entre nombre d'ondes et finesse des pics : intensité moyenne $N{I}_0$, pic $N^2{I}_0$, largeur $\sim 2\pi /N$.