Le doublet du sodium aux trous d'Young : pourquoi on ne le voit pas

La stratégie. Deux raies incohérentes : on additionne les intensités des deux systèmes, puis on factorise une somme de cosinus pour faire apparaître une modulation lente du contraste. Ensuite, on confronte la différence de marche nécessaire à ce que permet la géométrie des trous.

1) La modulation du contraste. Avec ${\sigma }_k=1/{\lambda }_k$ :

$$\begin{array}{rl}I& =2I_0\left[1+\cos (2\pi {\sigma }_1\delta )\right]+2I_0\left[1+\cos (2\pi {\sigma }_2\delta )\right]\\ & =4I_0\left[1+\cos \left(\pi ({\sigma }_1-{\sigma }_2)\delta \right)\cos \left(\pi ({\sigma }_1+{\sigma }_2)\delta \right)\right].\end{array}$$

Le second cosinus oscille avec la période ${\lambda }_0$ en $\delta$ : ce sont les franges. Le premier varie mille fois plus lentement : sur quelques franges, il est constant et joue le rôle d'un facteur de contraste. Comme ${\sigma }_1-{\sigma }_2=\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_1{\lambda }_2}\approx \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0^2}$, le contraste local vaut $\mathcal{C}(\delta )=\left|\cos \frac{\pi \delta \Delta \lambda }{{\lambda }_0^2}\right|$.

2) La première anti-coïncidence. $\mathcal{C}=0$ pour $\frac{\pi \delta \Delta \lambda }{{\lambda }_0^2}=\frac{\pi }{2}$ :

$$\begin{array}{rl}\delta & =\frac{{\lambda }_0^2}{2\Delta \lambda }\\ & =\frac{(589,3\times 10^{-9}{)}^2}{2\times 0,6\times 10^{-9}}\\ & =2,89\times 10^{-4}\mathrm{m}\\ & =0,29\mathrm{mm},\end{array}$$

à l'ordre $p=\delta /{\lambda }_0\approx 491$ : la $491^{\text{e}}$ frange brillante de ${\lambda }_1$ tombe sur une frange sombre de ${\lambda }_2$. Le contraste renaît ensuite, et s'annule périodiquement.

3) Sur l'écran. $x=\delta D/a=2,89\times 10^{-4}\times 1,0/1,0\times 10^{-3}=0,29\mathrm{m}$ : vingt-neuf centimètres du centre, très loin hors du champ éclairé, et là où $x/D\approx 0,3$ ne permet plus d'écrire $\delta =ax/D$. Dans le champ, $|x|\le 1\mathrm{cm}$, $\delta \le 10\mu \mathrm{m}$, et $\mathcal{C}\ge \cos \left(\pi \times \frac{10\times 10^{-6}}{0,58\times 10^{-3}}\right)\approx 0,998$ : le doublet est invisible, les franges sont celles d'une raie unique.

4) Ce qu'il faudrait. Pour $x=1,0\mathrm{cm}$ : $a=\delta D/x=2,9\mathrm{cm}$. L'interfrange deviendrait $i={\lambda }_{0}D/a=20\mu \mathrm{m}$ : invisible à l'œil, il faudrait un microscope. Surtout, la cohérence spatiale exigerait une fente source bien plus fine que

$$\begin{array}{rl}{b}_c& =\frac{{\lambda }_{0}d}{a}\\ & =\frac{589\times 10^{-9}\times 0,50}{2,9\times 10^{-2}}\\ & =10\mu \mathrm{m},\end{array}$$

qui ne laisserait passer presque aucune lumière. Conclusion : avec un dispositif à division du front d'onde, une grande différence de marche exige un grand écartement, donc une source minuscule : la cohérence spatiale interdit les grandes différences de marche. L'interféromètre de Michelson, au chapitre suivant, divise l'amplitude et non le front d'onde ; il atteint $0,29\mathrm{mm}$ en déplaçant un miroir de $0,15\mathrm{mm}$, avec une source étendue.

Ce que l'exercice installe. Deux raies incohérentes : additivité des intensités et contraste modulé en $|\cos (\pi \delta \Delta \lambda /{\lambda }_0^2)|$, première anti-coïncidence pour $\delta ={\lambda }_0^2/(2\Delta \lambda )$. Et la synthèse des deux cohérences : aux trous d'Young, la différence de marche est bornée par la cohérence spatiale, ce qui rend la cohérence temporelle d'une raie fine inobservable.