Lire une photographie de franges : séparer les deux cohérences

La stratégie. L'élargissement spatial fait varier l'ordre d'une quantité indépendante du point d'observation (le terme $a{x}_s/d$), l'élargissement spectral d'une quantité proportionnelle à $\delta$, nulle au centre. C'est ce qui permet de les séparer sur un même profil.

1) Le capteur. $1,64\mathrm{mm}/5\mu \mathrm{m}\approx 330$ photosites par interfrange : l'échantillonnage est surabondant. La saturation : un photosite saturé plafonne, $I_{\max }$ est sous-estimé et le contraste aussi ; on règle l'exposition sous la saturation, et l'on soustrait le signal d'obscurité, qui fausserait $I_{\min }$. Le capteur intègre pendant des millisecondes, durée immense devant le temps de cohérence : il mesure des intensités moyennes, que l'on peut additionner.

2) La cohérence spatiale fixe le contraste partout. Au centre, $\delta \approx 0$ pour toutes les longueurs d'onde du filtre : elles sont toutes en phase, le spectre ne joue aucun rôle. Seule intervient la largeur de la source, par le facteur de l'exercice 4, $\left|\frac{\sin (\pi b/b_c)}{\pi b/b_c}\right|$, avec $b_c={\lambda }_{0}d/a=0,819\mathrm{mm}$. Ici, $\pi b/b_c=1,131$, donc $$b=\frac{1,131}{\pi }{b}_c=0,36\times 0,819\mathrm{mm}=0,29\mathrm{mm}.$$ Le même facteur partout : le terme côté source $a{x}_s/d$ ne dépend pas du point d'observation ; il décale chaque système en bloc. Le facteur spatial ne dépend donc pas de $x$ (il dépend un peu de $\lambda$ par $b_c$, de $7\%$ au plus sur la bande du filtre).

3) La cohérence temporelle fixe le nombre de franges. En $x$, $\delta =ax/D$, et l'ordre varie sur le spectre de $\Delta p=p_0\Delta \lambda /{\lambda }_0$, quantité nulle au centre et proportionnelle à $|x|$, indépendante de $b$. À l'extinction : $$\delta =\frac{ax}{D}=\frac{0,40\times 10^{-3}\times 22,4\times 10^{-3}}{1,20}=7,47\mu \mathrm{m},p_0=\frac{\delta }{{\lambda }_0}=13,7.$$ $\Delta p=1$ donne $\Delta \lambda ={\lambda }_0/p_0=546/13,7\approx 40\mathrm{nm}$, et ${\ell }_c={\lambda }_0^2/\Delta \lambda \approx 7,5\mu \mathrm{m}$ : c'est bien la différence de marche à l'extinction. On compte environ $13$ franges contrastées de chaque côté ; les franges très faibles au-delà, inversées comme à l'exercice 4, sont la trace des bords raides du filtre. Le profil se factorise : $\mathcal{C}(x)\approx {\mathcal{C}}_{\text{spatial}}\times {\mathcal{C}}_{\text{spectral}}(x)$, le premier facteur valant $0,80$ et le second partant de $1$ au centre.

4) Deux expériences de contrôle. En divisant $b$ par deux, $\pi b/b_c=0,566$ et le contraste au centre passe à $\sin (0,566)/0,566=0,95$ ; l'extinction reste à $22,4\mathrm{mm}$. Avec un filtre deux fois plus étroit, le contraste au centre reste $0,80$, et l'extinction recule à $44,8\mathrm{mm}$, hors du champ enregistré : c'est alors le champ qui limite. La synthèse : la cohérence spatiale (largeur de la source, rapportée à $b_c=\lambda d/a$) fixe le contraste partout ; la cohérence temporelle (largeur spectrale) fixe le nombre de franges, par $|\delta |\lesssim {\ell }_c$.

Ce que l'exercice installe. Lire un profil de franges comme un diagnostic : le contraste au centre mesure l'étendue de la source, sa décroissance la largeur spectrale ; on sait alors quoi corriger, la fente ou le filtre.