Lumière blanche et filtre : qui limite le nombre de franges ?

La stratégie. Les systèmes de franges des différentes longueurs d'onde s'ajoutent en intensité. En un point, $\delta$ est le même pour toutes, mais l'ordre $p=\delta /\lambda$ en dépend : on applique le critère de brouillage à cette variation, puis on compare à ce que le champ permet de voir.

1) La lumière blanche. En $x=0$, $\delta =0$ pour toutes les longueurs d'onde : toutes ont un maximum, la frange centrale est blanche. La première frange sombre d'une couleur est en $p=1/2$, soit $x=\lambda D/(2a)$ : $$x_{\text{bleu}}=\frac{400\times 10^{-9}\times 1,00}{2\times 0,55\times 10^{-3}}=0,36\mathrm{mm},x_{\text{rouge}}=\frac{700\times 10^{-9}\times 1,00}{2\times 0,55\times 10^{-3}}=0,64\mathrm{mm}.$$ Le bleu s'éteint le premier : la frange blanche se borde de rouge. Plus loin, les franges brillantes $x_p=p\lambda D/a$ sont d'autant plus écartées du centre que $\lambda$ est grand : chaque frange est irisée, bleue côté centre, rouge côté extérieur ; après quelques franges, les couleurs se mêlent en un blanc d'apparence uniforme.

2) Le critère spectral. En un point, les ordres extrêmes sont $\delta /{\lambda }_{\min }$ et $\delta /{\lambda }_{\max }$ : $$\Delta p=\delta \left(\frac{1}{{\lambda }_{\min }}-\frac{1}{{\lambda }_{\max }}\right)\approx \frac{\delta \Delta \lambda }{{\lambda }_0^2}=p_0\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}.$$ Le critère $\Delta p\approx 1$ donne $p_0\approx {\lambda }_0/\Delta \lambda$. En lumière blanche, ${\lambda }_0/\Delta \lambda =0,55/0,30\approx 1,8$ : on voit la frange centrale et une ou deux franges colorées de chaque côté. Le calcul exact entre $400$ et $700\mathrm{nm}$ donne le brouillage pour $\delta =0,93\mu \mathrm{m}$, soit $p_0=1,7$ : l'estimation est la bonne.

3) Le filtre, la raie, et le champ. Avec le filtre, ${\lambda }_0/\Delta \lambda =550/10=55$ ; avec la raie isolée, $589/0,01\approx 5,9\times 10^4$. Le champ : l'interfrange vaut $i={\lambda }_{0}D/a=1,0\mathrm{mm}$ (à $550\mathrm{nm}$), et le champ $|x|\le 1,0\mathrm{cm}$ contient les ordres $|p|\le 10$. Donc :

• en lumière blanche, le spectre limite : $1,8<10$ ;
• avec le filtre, le champ limite : le critère autoriserait $55$ franges de chaque côté, on n'en voit que $10$. Au bord du champ, $\Delta p=10/55\approx 0,18$ : le contraste y vaut encore $0,95$ (pour un spectre rectangulaire, le calcul de l'exercice 4, la longueur d'onde remplaçant la position du point source, donne $\left|\sin (\pi \Delta p)/(\pi \Delta p)\right|$) ;
• avec la raie, le champ limite d'autant plus.

4) Le lien avec la durée des trains d'ondes. De $f=c/\lambda$, $|\mathrm{d}f|=c\mathrm{d}\lambda /{\lambda }^2$, donc $\Delta f=c\Delta \lambda /{\lambda }_0^2$. La relation admise $\Delta f{\tau }_c\sim 1$ donne $${\tau }_c\sim \frac{{\lambda }_0^2}{c\Delta \lambda },{\ell }_c=c{\tau }_c\sim \frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }.$$

Le nombre de franges visibles est $p_{\max }\approx {\ell }_c/{\lambda }_0={\lambda }_0/\Delta \lambda$ : le même critère, lu autrement. Les deux ondes qui se rejoignent en $M$ ne sont issues du même train d'ondes que si leur décalage $\delta /c$ reste inférieur à ${\tau }_c$ ; au-delà, le récepteur, de temps de réponse immense devant ${\tau }_c$, additionne des intensités.

5) Cas limite. Quand $\Delta \lambda \to 0$, ${\ell }_c\to \infty$ : seuls le champ éclairé et la validité de $|x|\ll D$ limitent le nombre de franges. C'est la source monochromatique idéale, que le laser approche.

Ce que l'exercice installe. L'ordre dépend de la longueur d'onde, d'autant plus qu'on s'éloigne du centre : $p\lesssim {\lambda }_0/\Delta \lambda$, soit $|\delta |\lesssim {\ell }_c$. Et l'on compare à la limite du champ : le spectre limite en lumière blanche, le champ dès qu'on filtre.