Division d'amplitude : deux ondes égales, et où va l'énergie

La stratégie. On suit l'intensité le long de chaque voie (facteur $R$ par réflexion sur la séparatrice, $T$ par transmission), on applique Fresnel à chaque sortie, et la conservation de l'énergie, qui ne demande rien de plus que $R+T=1$, fixe la relation de phase entre les deux sorties.

1) Deux ondes de même intensité. Voie 1 : l'onde est réfléchie par la séparatrice vers $M_1$ (facteur $R$), réfléchie par $M_1$ (facteur $1$), puis transmise par la séparatrice vers la sortie (facteur $T$) : intensité $RT{I}_0$. Voie 2 : transmise vers $M_2$ (facteur $T$), réfléchie par $M_2$, puis réfléchie par la séparatrice vers la sortie (facteur $R$) : intensité $TR{I}_0$. Chaque voie subit une réflexion et une transmission : les deux intensités sont égales, $I_1=I_2=RT{I}_0$, quelle que soit la séparatrice. Les deux ondes sont cohérentes parce qu'elles proviennent du même train d'onde, issu du même point de la source, dont l'amplitude a été partagée en deux : leurs phases aléatoires sont identiques et s'éliminent dans le déphasage, qui ne dépend plus que de la différence des chemins. C'est la division d'amplitude. Les trous d'Young prélèvent deux portions distinctes du front d'onde (division du front d'onde), ce qui exige une source quasi ponctuelle ; l'exercice 2 montre que la division d'amplitude lève cette exigence.

2) Contraste 1, luminosité $4RT{I}_0$. Par la formule de Fresnel, avec $I_1=I_2=RT{I}_0$ : $$I_{\text{sortie}}=2RT{I}_0(1+\cos \phi ).$$ Donc $I_{\min }=0$ et $V=1$ : le contraste vaut 1 quel que soit $R$, parce que les deux ondes sont d'intensités égales (le cours du chapitre 2 associe un bon contraste à des intensités voisines). L'intensité maximale vaut $I_{\max }=4RT{I}_0=4R(1-R)I_0$, maximale pour $R=\frac{1}{2}$ (dérivée $4(1-2R)$ nulle) où elle vaut $I_0$ : toute la lumière entrée sort sur une frange brillante. Pour $R=0,4$, $I_{\max }=4\times 0,4\times 0,6I_0=0,96I_0$ : une séparatrice imparfaite ne coûte presque rien en luminosité ($4\%$) et rien en contraste.

3) La sortie « retour ». Vers la source, la voie 1 a subi deux réflexions sur la séparatrice (intensité $R^2{I}_0$) et la voie 2 deux transmissions ($T^2{I}_0$). Les mêmes bras ayant été parcourus, la différence de marche est la même qu'à la sortie d'observation. Par Fresnel : $$I_{\text{retour}}=(R^2+T^2)I_0+2RT{I}_0\cos {\phi }^{\prime },V_{\text{retour}}=\frac{2RT}{R^2+T^2}.$$ Pour $R=0,4$ : $V_{\text{retour}}=\frac{0,48}{0,16+0,36}=\frac{0,48}{0,52}\approx 0,92$. Intensités inégales, contraste moindre : on observe sur l'autre sortie.

4) Les deux sorties sont complémentaires. La puissance qui entre ressort tout entière : $I_{\text{sortie}}+I_{\text{retour}}=I_0$ pour toute épaisseur $e$. Or $$I_{\text{sortie}}+I_{\text{retour}}=(R+T{)}^2{I}_0+2RT{I}_0(\cos \phi +\cos {\phi }^{\prime })=I_0+2RT{I}_0(\cos \phi +\cos {\phi }^{\prime }).$$ Il faut donc $\cos {\phi }^{\prime }=-\cos \phi$ pour toute valeur de $e$. Les deux déphasages varient de la même façon avec $e$ (ils contiennent le même terme $2\pi \delta /\lambda$) et ne diffèrent que par des constantes dues aux réflexions sur la séparatrice ; l'égalité pour tout $e$ impose ${\phi }^{\prime }=\phi +\pi$ (à $2\pi$ près). Les deux sorties sont en opposition : quand l'une est brillante, l'autre est à son minimum. Pour $R=\frac{1}{2}$ : $I_{\text{sortie}}=\frac{I_0}{2}(1+\cos \phi )$ et $I_{\text{retour}}=\frac{I_0}{2}(1-\cos \phi )$.

Conséquence au contact optique. À $e=0$, la différence de marche géométrique est nulle dans les deux sorties ; si les déphasages n'étaient dus qu'aux chemins, les deux sorties seraient brillantes à la fois, et l'énergie ne serait pas conservée. Il y a donc nécessairement, entre les deux sorties, un déphasage supplémentaire de $\pi$ apporté par les réflexions sur la séparatrice ; le modèle « $R$, $T$ » ne dit pas laquelle des deux sorties en hérite, cela dépend du traitement de la séparatrice. C'est l'origine du « centre souvent sombre au contact optique » : une phase à la réflexion que la conservation de l'énergie rend inévitable sur l'une des deux sorties.

Ce que l'exercice installe. Chaque voie du Michelson subit une réflexion et une transmission : les deux ondes sont d'intensités égales, d'où un contraste égal à 1 quelle que soit la séparatrice, qui ne règle que la luminosité. Et un réflexe : un bilan d'énergie contraint les phases (sorties complémentaires) sans aucun modèle microscopique de la lame.