L'indice de l'air : faire défiler les anneaux sans toucher aux miroirs

La stratégie. On fait varier un chemin optique sans bouger les miroirs : le nombre d'anneaux défilant au centre compte, en longueurs d'onde, la variation de différence de marche, exactement comme dans le chariotage. Il suffit d'écrire le chemin optique de la voie modifiée dans les deux états.

1) La variation de différence de marche. Le chemin optique dans la cuve, à l'aller et au retour, vaut $2nL$ quand elle est pleine et $2L$ quand elle est vide : il varie de $2(n-1)L$. Les hublots sont présents dans les deux états, avec la même épaisseur de verre traversée : leur contribution s'élimine dans la différence. Au centre ($i=0$), l'ordre varie donc de $2(n-1)L/\lambda$, et chaque anneau qui défile correspond à une variation de $\lambda$ : $$N=\frac{2(n-1)L}{\lambda }⟹n-1=\frac{N\lambda }{2L}=\frac{50\times 546,1\times 10^{-9}}{2\times 0,0500}\approx 2,73\times 10^{-4}.$$ À un demi-anneau près, $u(n-1)=\frac{0,5\lambda }{2L}\approx 0,03\times 10^{-4}$ : $n-1=(2,73\pm 0,03)\times 10^{-4}$, à $1\%$ près. La valeur tabulée pour l'air sec à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ et à cette longueur d'onde est $2,73\times 10^{-4}$ ($2,78\times 10^{-4}$ à $15{}^{\circ }\mathrm{C}$).

2) Le chariotage équivalent. Une variation $\Delta \delta$ au centre équivaut à une variation d'épaisseur $\Delta e=\Delta \delta /2=(n-1)L\approx 13,7\mu \mathrm{m}$. Selon le bras de la cuve, les anneaux rentrent ou sortent, comme sous l'effet de la vis.

3) Le protocole. On vide lentement en notant, au manomètre, la pression $P$ à chaque anneau qui défile : le $j$-ième vérifie $2(n(P_0)-n(P))L=j\lambda$. À température constante, la masse volumique d'un gaz parfait est proportionnelle à $P$ : si la loi est vraie, $j$ est une fonction affine de $P$. Sa pente donne $\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}P}$, et l'extrapolation à $P=0$ redonne $n-1$ sans vider complètement la cuve.

4) La dérive thermique. À pression constante, la masse volumique d'un gaz parfait varie comme $1/T$, donc $n-1\propto 1/T$ et $$\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}T}=-\frac{n-1}{T}=-\frac{2,73\times 10^{-4}}{293\mathrm{K}}\approx -9,3\times 10^{-7}{\mathrm{K}}^{-1}.$$ Sur un bras de $\ell =1\mathrm{m}$ parcouru deux fois, $1\mathrm{K}$ fait varier la différence de marche de $2\ell \left|\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}T}\right|\Delta T\approx 1,86\mu \mathrm{m}$, soit $1,86/0,5461\approx 3,4$ anneaux. Un dixième de degré fait bouger la figure d'un tiers d'anneau, autant qu'un déplacement de miroir de $90\mathrm{nm}$ : un interféromètre de métrologie se stabilise en température, ou travaille sous vide.

Ce que l'exercice installe. Le Michelson mesure une variation de chemin optique, quelle qu'en soit l'origine (miroir, indice, épaisseur) : $N=\Delta \delta /\lambda$ au centre. Ce qui ne change pas entre les deux états (les hublots) ne compte pas. Et un ordre de grandeur : l'indice de l'air, $n-1\approx 3\times 10^{-4}$, et sa sensibilité à la température, qui fixe la stabilité d'un interféromètre de mesure.