Largeur d'une raie : quand les anneaux s'éteignent pour de bon

La stratégie. Une raie de largeur finie est une collection de radiations incohérentes entre elles ; chacune donne ses anneaux, et les intensités s'ajoutent. Le critère sur l'ordre donne l'ordre de grandeur de la différence de marche de brouillage ; le profil rectangulaire permet de faire le calcul exact et de vérifier le critère.

1) Le critère sur l'ordre. À la différence de marche $\delta$, l'ordre $p=\sigma \delta$ s'étale, entre les bords de la raie, sur $\Delta p=\delta \Delta \sigma$. Les systèmes d'anneaux extrêmes sont décalés d'un anneau quand $\Delta p\approx 1$ : les franges se brouillent pour

$$\delta \approx \frac{1}{\Delta \sigma }=\frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }={\ell }_c.$$

En fréquence, $f=c\sigma$, donc $\Delta f=c\Delta \sigma =c/{\ell }_c$. En posant ${\ell }_c=c{\tau }_c$ (longueur d'un train d'onde), on obtient $\Delta f\cdot {\tau }_c=1$ : c'est la relation $\Delta f\cdot \Delta t\sim 1$ du cours, retrouvée par l'interféromètre. Interprétation : les deux ondes interfèrent tant que le retard de l'une sur l'autre, $\delta /c$, reste inférieur à la durée d'un train d'onde.

2) Le profil rectangulaire (hors PT). Les radiations comprises entre $\sigma$ et $\sigma +\mathrm{d}\sigma$ apportent, sur chacune des deux voies, l'intensité $\frac{I_{\text{m}}}{2\Delta \sigma }\mathrm{d}\sigma$, et donnent au centre, par Fresnel, $\frac{I_{\text{m}}}{\Delta \sigma }\left[1+\cos (2\pi \sigma \delta )\right]\mathrm{d}\sigma$. Elles sont incohérentes entre elles : on additionne les intensités, ici en intégrant sur la raie,

$$I(\delta )=\frac{I_{\text{m}}}{\Delta \sigma }{\int }_{{\sigma }_0-\Delta \sigma /2}^{{\sigma }_0+\Delta \sigma /2}\left[1+\cos (2\pi \sigma \delta )\right]\mathrm{d}\sigma .$$

Le premier terme donne $I_{\text{m}}$. Le second :

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\sigma }_0-\Delta \sigma /2}^{{\sigma }_0+\Delta \sigma /2}\cos (2\pi \sigma \delta )\mathrm{d}\sigma & =\frac{\sin (2\pi ({\sigma }_0+\frac{\Delta \sigma }{2})\delta )-\sin (2\pi ({\sigma }_0-\frac{\Delta \sigma }{2})\delta )}{2\pi \delta }\\ & =\frac{2\cos (2\pi {\sigma }_0\delta )\sin (\pi \Delta \sigma \delta )}{2\pi \delta },\end{array}$$

soit $\Delta \sigma \mathrm{sinc}(\pi \Delta \sigma \delta )\cos (2\pi {\sigma }_0\delta )$. Donc

$$I(\delta )=I_{\text{m}}\left[1+\mathrm{sinc}(\pi \Delta \sigma \delta )\cos (2\pi {\sigma }_0\delta )\right].$$

Le cosinus varie à l'échelle de ${\lambda }_0$, le sinus cardinal à l'échelle de $1/\Delta \sigma$, beaucoup plus grande : localement, l'intensité oscille entre $I_{\text{m}}(1\pm |\mathrm{sinc}|)$, et le facteur de contraste vaut

$$V(\delta )=\left|\mathrm{sinc}(\pi \Delta \sigma \delta )\right|.$$

Il s'annule pour la première fois quand $\pi \Delta \sigma \delta =\pi$, soit $\delta =1/\Delta \sigma ={\ell }_c$ : le critère sur l'ordre était juste, il donne exactement le premier zéro. Au-delà, le contraste repasse par des maxima secondaires, mais ils sont faibles : le premier vaut $0,22$ (pour $\pi \Delta \sigma \delta \approx 4,49$), les suivants moins encore ; en pratique, pour un profil réel sans bords francs, les franges ne reviennent pas.

3) Raie contre doublet. Pour une raie unique, le contraste décroît et s'éteint pour de bon : c'est la signature d'un spectre continu sur une largeur $\Delta \sigma$. Pour un doublet de deux raies fines (problème des travaux dirigés), le contraste s'annule puis revient périodiquement : c'est la signature de deux raies séparées. La courbe $V(\delta )$ porte donc la forme du spectre ; c'est en ce sens que le Michelson « accède au profil spectral » d'une source.

4) Ordres de grandeur.

• Mercure basse pression : ${\ell }_c=2e\approx 2\mathrm{cm}$, d'où $\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_0^2}{{\ell }_c}=\frac{(546,1\times 10^{-9}{)}^2}{0,02}\approx 1,5\times 10^{-11}\mathrm{m}=15\mathrm{pm}$, $\Delta f=\frac{c}{{\ell }_c}\approx 1,5\times 10^{10}\mathrm{Hz}$ et ${\tau }_c=\frac{{\ell }_c}{c}\approx 67\mathrm{ps}$. La raie est fine en valeur relative ($\Delta \lambda /{\lambda }_0\approx 3\times 10^{-5}$) : on peut charioter d'un centimètre en voyant des anneaux.
• Mercure haute pression, $\Delta \lambda \approx 2\mathrm{nm}$ : ${\ell }_c=\frac{(546,1\mathrm{nm}{)}^2}{2\mathrm{nm}}\approx 0,15\mathrm{mm}$ : les anneaux disparaissent dès $e\approx 75\mu \mathrm{m}$ du contact.
• Lumière blanche : ${\ell }_c\approx 1\mu \mathrm{m}$ (exercice 6 ci-dessus). La longueur de cohérence couvre quatre ordres de grandeur ; elle fixe la plage de chariotage utilisable, et c'est pour cela qu'on règle le Michelson avec une lampe basse pression.

5) Cas limite. Quand $\Delta \sigma \to 0$, $\mathrm{sinc}(\pi \Delta \sigma \delta )\to 1$ pour tout $\delta$ fixé : $V=1$ et ${\ell }_c\to \infty$. Une radiation rigoureusement monochromatique donnerait des franges contrastées à toute différence de marche ; c'est une idéalisation.

Ce que l'exercice installe. Le critère de brouillage sur l'ordre, $\delta \Delta \sigma \approx 1$, donne la longueur de cohérence ${\ell }_c={\lambda }_0^2/\Delta \lambda$ et retrouve $\Delta f\cdot {\tau }_c\sim 1$ ; le calcul du profil rectangulaire, par additivité des intensités, confirme le critère et montre que le contraste $V(\delta )$ porte la forme du spectre.