Le chariotage vu par une photodiode

La stratégie. Au centre, $i=0$ et $\delta =2e$ : la formule de Fresnel, avec deux ondes de même intensité $I_1$, donne le signal en fonction de $e$, et le mouvement uniforme le rend sinusoïdal dans le temps. Tout le reste est une lecture de cette sinusoïde.

1) Le signal. Au centre, $\delta =2e(t)$ et $\phi =2\pi \delta /\lambda =4\pi e(t)/\lambda$. Par Fresnel, avec $I_1=I_2$ :

$$I(t)=2I_1\left[1+\cos \frac{4\pi (e_0+vt)}{\lambda }\right].$$

La pulsation est $4\pi v/\lambda$, donc la fréquence $f=\frac{2v}{\lambda }=\frac{2\times 1,00\times 10^{-6}}{546,1\times 10^{-9}}\approx 3,66\mathrm{Hz}$. Chaque période correspond à un anneau qui naît au centre, c'est-à-dire à un déplacement $\lambda /2$ : on retrouve $N=2\Delta e/\lambda$, lu dans le temps.

2) Le diaphragme. La photodiode intègre l'intensité sur toute la surface qu'elle reçoit. Si elle recevait plusieurs anneaux, brillants et sombres à la fois, le signal moyennerait des phases différentes et son contraste chuterait. Il faut donc qu'elle ne voie qu'une zone où $\delta$ varie de bien moins que $\lambda /2$ : une ouverture plus petite que la tache centrale.

3) Mesure et étalonnage. $f=N/\Delta t$ et $\lambda =2v/f=2v\Delta t/N$ :

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{2\times 1,00\times 10^{-6}\times 273,0}{1000}\\ & =5,460\times 10^{-7}\mathrm{m}\\ & =546,0\mathrm{nm},\end{array}$$

en accord avec la raie verte du mercure. Compter à une période près donne une incertitude relative $1/N=10^{-3}$ : c'est en comptant beaucoup d'anneaux que le chariotage devient précis (à condition que $v$ soit connue à mieux que $10^{-3}$). Étalonnage : réciproquement, avec une raie de longueur d'onde connue, le nombre $N$ de périodes pendant une rotation donnée de la vis mesure le déplacement $\Delta e=N\lambda /2$ ; on étalonne ainsi la vis, ou le moteur, en longueurs d'onde.

4) Le temps de réponse. Le détecteur suit le signal si sa période $1/f$ est grande devant $\tau$ ; la limite est $f\approx 1/\tau$, soit $v_{\max }\approx \frac{\lambda }{2\tau }$.

• Œil : $v_{\max }\approx \frac{546,1\times 10^{-9}}{0,2}\approx 2,7\mu m/s$ ; au-delà de quelques anneaux par seconde, on ne compte plus.
• Photodiode : $v_{\max }\approx \frac{546,1\times 10^{-9}}{2\times 10^{-6}}\approx 0,27m/s$, cent mille fois plus. Le choix du récepteur fixe la vitesse de mesure : c'est le principe des interféromètres de déplacement industriels, qui suivent des platines de machines-outils.

5) Le sens. Non : le cosinus est pair, et $v$ et $-v$ donnent la même sinusoïde. Pour lever l'ambiguïté, il faudrait un second signal décalé d'un quart de période (en pratique un second détecteur) : c'est la détection en quadrature des interféromètres de mesure, hors du champ de ce chapitre.

Ce que l'exercice installe. Le chariotage est une conversion déplacement–nombre d'anneaux ($\lambda /2$ par anneau), lisible par un photodétecteur comme une fréquence $2v/\lambda$. Il mesure une longueur d'onde ou étalonne une vis, avec une précision $1/N$, et le temps de réponse du récepteur limite la vitesse.