Problème : le doublet du sodium, mesure de son écart par les anticoïncidences

La stratégie. Deux raies émises par des atomes différents ne sont pas cohérentes : on additionne les intensités des deux systèmes d'anneaux. La somme de deux cosinus de fréquences voisines est un battement : une oscillation rapide (les anneaux) modulée par une enveloppe lente (le contraste). La période de l'enveloppe donne $\Delta \sigma$, donc l'écart du doublet ; sa décroissance donne la largeur des raies.

1) Additivité. Les deux raies sont émises par des atomes différents, en trains d'onde de phases aléatoires indépendantes ; leurs fréquences diffèrent de $c\Delta \sigma \approx 5\times 10^{11}\mathrm{Hz}$. Le terme d'interférence entre une onde ${\mathrm{D}}_1$ et une onde ${\mathrm{D}}_2$ oscille à cette fréquence et se moyenne à zéro sur le temps de réponse de tout détecteur : les raies sont incohérentes, leurs intensités s'additionnent. Pour chaque raie, les deux voies donnent des ondes cohérentes, d'intensité $I_1$, et la formule de Fresnel donne $2I_1\left[1+\cos (2\pi {\sigma }_k\delta )\right]$. Donc $$I(\delta )=2I_1\left[2+\cos (2\pi {\sigma }_1\delta )+\cos (2\pi {\sigma }_2\delta )\right]=4I_1\left[1+\cos (\pi \Delta \sigma \delta )\cos (2\pi \bar{\sigma }\delta )\right],$$ par $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ avec $\frac{a+b}{2}=2\pi \bar{\sigma }\delta$ et $\frac{b-a}{2}=\pi \Delta \sigma \delta$.

2) Le contraste. Le rapport des échelles est $\Delta \sigma /\bar{\sigma }\approx \Delta \lambda /\bar{\lambda }\approx 10^{-3}$ : quand $\delta$ varie d'une longueur d'onde, le facteur $\cos (\pi \Delta \sigma \delta )$ est pratiquement constant. Localement, l'intensité oscille donc entre $4I_1\left(1+|\cos (\pi \Delta \sigma \delta )|\right)$ et $4I_1\left(1-|\cos (\pi \Delta \sigma \delta )|\right)$, et $$V(\delta )=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\left|\cos (\pi \Delta \sigma \delta )\right|.$$ Le contraste vaut $1$ en $\delta =0$, et s'annule pour $\pi \Delta \sigma \delta =\frac{\pi }{2}+k\pi$ : $${\delta }_k=\frac{k+\frac{1}{2}}{\Delta \sigma },k=0,1,2,\dots$$ Par les ordres : $p_2-p_1=({\sigma }_2-{\sigma }_1)\delta =\Delta \sigma \delta$. Pour $\delta ={\delta }_k$, $p_2-p_1=k+\frac{1}{2}$ : les anneaux brillants d'une raie tombent sur les anneaux sombres de l'autre, les deux systèmes s'intercalent et, d'intensités égales, donnent un éclairement uniforme. C'est l'anticoïncidence. Pour $p_2-p_1$ entier, les systèmes coïncident : contraste maximal.

3) La période de chariotage. Deux anticoïncidences consécutives sont séparées de $\Delta \delta =1/\Delta \sigma$, soit, avec $\delta =2e$, de $$\Delta e=\frac{1}{2\Delta \sigma }=\frac{1}{2}\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{2\Delta \lambda }\approx \frac{{\bar{\lambda }}^2}{2\Delta \lambda }.$$ Numériquement, $\Delta e=\frac{589,592\times 588,995}{2\times 0,597}\mathrm{nm}\approx 2,908\times 10^5\mathrm{nm}=0,291\mathrm{mm}$. La première anticoïncidence ($k=0$) est à ${\delta }_0=1/(2\Delta \sigma )$, soit $e=\Delta e/2\approx 0,145\mathrm{mm}$ du contact optique. Pendant une période, le nombre d'anneaux qui défilent au centre est $$N=\frac{2\Delta e}{\bar{\lambda }}\approx \frac{\bar{\lambda }}{\Delta \lambda }=\frac{589,29}{0,597}\approx 987.$$ Près de mille anneaux par période : on ne les compte pas, on lit la vis aux anticoïncidences.

4) Le relevé. Les écarts successifs valent $0,29$ ; $0,29$ ; $0,29$ ; $0,30$ ; $0,29\mathrm{mm}$. La régression linéaire des positions en fonction du rang donne une pente $\Delta e=0,2923\mathrm{mm}$ (résidus inférieurs à $5\mu \mathrm{m}$, compatibles avec la précision de pointage). Alors $$\Delta \lambda =\frac{{\bar{\lambda }}^2}{2\Delta e}=\frac{(589,29\times 10^{-9}{)}^2}{2\times 0,2923\times 10^{-3}}\approx 5,94\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,594\mathrm{nm}.$$ Incertitude : la différence de deux pointages indépendants a l'incertitude $\sqrt{2}\times 0,02\mathrm{mm}$, répartie sur cinq périodes, soit $u(\Delta e)\approx \frac{0,028}{5}\approx 0,006\mathrm{mm}$, environ $2\%$. Comme $\Delta \lambda \propto 1/\Delta e$, $u(\Delta \lambda )/\Delta \lambda =u(\Delta e)/\Delta e\approx 2\%$ : $\Delta \lambda =(0,59\pm 0,01)\mathrm{nm}$, compatible avec la valeur tabulée $0,597\mathrm{nm}$. Mesurer sur plusieurs périodes divise l'incertitude de pointage par leur nombre.

Pourquoi les anticoïncidences. Au voisinage d'une anticoïncidence, $V=|\cos (\pi \Delta \sigma \delta )|$ passe par zéro en variant linéairement : un petit écart fait réapparaître un contraste proportionnel. Au voisinage d'une coïncidence, le cosinus est maximal et varie quadratiquement : le contraste reste proche de $1$ sur une large plage, et le maximum est mal repéré.

5) Cas limites. a) Intensités inégales. L'intensité vaut $2(I_1+I_2)+2\left[I_1\cos (2\pi {\sigma }_1\delta )+I_2\cos (2\pi {\sigma }_2\delta )\right]$. Sur quelques longueurs d'onde, l'écart $2\pi \Delta \sigma \delta$ des phases des deux cosinus est pratiquement constant : leur somme pondérée est une sinusoïde d'amplitude donnée, comme dans la formule de Fresnel, par la composition de deux vibrations d'amplitudes $I_1$ et $I_2$ : $$A=\sqrt{I_1^2+I_2^2+2I_1{I}_2\cos (2\pi \Delta \sigma \delta )}.$$ L'intensité oscille entre $2(I_1+I_2)\pm 2A$, donc $V(\delta )=\frac{A}{I_1+I_2}$. Son minimum, atteint quand $\cos (2\pi \Delta \sigma \delta )=-1$, vaut $\frac{|I_2-I_1|}{I_1+I_2}=\frac{1}{3}$ pour $I_2=2I_1$. Le brouillage n'est pas total, mais les minima sont aux mêmes ${\delta }_k$ : la période est inchangée, et la mesure de $\Delta \lambda$ ne dépend pas du rapport des intensités. Pour $I_1=I_2$, $A=2I_1|\cos (\pi \Delta \sigma \delta )|$ et l'on retrouve la question 2. b) Quand $\Delta \lambda \to 0$, $\Delta e\to \infty$ : on retrouve une raie unique, de contraste $1$. c) ${\lambda }^2/\Delta \lambda$ est une longueur au carré divisée par une longueur : $\Delta e$ est bien une longueur.

6) Vers le profil spectral. Une raie de largeur non nulle voit son propre contraste décroître avec $\delta$ et s'annuler vers sa longueur de cohérence ${\ell }_c\approx {\bar{\lambda }}^2/\Delta {\lambda }_{\text{raie}}$ (critère de brouillage sur l'ordre appliqué à la largeur $\Delta {\lambda }_{\text{raie}}$ de chaque raie). Le contraste observé est donc le produit du facteur de battement par une enveloppe décroissante : les coïncidences successives sont de moins en moins contrastées. Voir des coïncidences encore contrastées à $e\approx 1\mathrm{cm}$, soit $\frac{1\mathrm{cm}}{0,291\mathrm{mm}}\approx 34$ périodes de battement, impose à chaque raie une longueur de cohérence ${\ell }_c\gtrsim 2e=2\mathrm{cm}$, donc une largeur $$\Delta {\lambda }_{\text{raie}}\lesssim \frac{{\bar{\lambda }}^2}{2e}=\frac{(589,29\times 10^{-9}{)}^2}{2\times 10^{-2}}\approx 1,7\times 10^{-11}\mathrm{m}=17\mathrm{pm},$$ plus de trente fois plus petite que l'écart du doublet : les deux raies sont bien séparées. La courbe $V(e)$ porte donc deux informations sur le spectre : sa période donne l'écart des raies, sa décroissance donne leur largeur. C'est le principe de la spectroscopie par transformée de Fourier, lu ici sans formalisme.

Le résultat obtenu — la mesure de l'écart du doublet du sodium par les anticoïncidences. Pour un doublet de raies fines, incohérentes entre elles, le facteur de contraste au centre des anneaux vaut $V=|\cos (\pi \Delta \sigma \delta )|$ (intensités égales) : il s'annule périodiquement, et entre deux anticoïncidences consécutives le miroir se déplace de $\Delta e=\frac{{\bar{\lambda }}^2}{2\Delta \lambda }$ ; la mesure de $\Delta e$ à la vis, sur plusieurs périodes, donne l'écart du doublet $\Delta \lambda =\frac{{\bar{\lambda }}^2}{2\Delta e}$ ; si les intensités diffèrent, le brouillage n'est plus total mais la période est inchangée. Pour le sodium, $\Delta e\approx 0,29\mathrm{mm}$ et $\Delta \lambda \approx 0,6\mathrm{nm}$.

Ce que le problème installe. L'additivité des intensités de deux raies incohérentes produit un battement ; le facteur de contraste se lit comme l'enveloppe de ce battement, et le critère sur l'ordre en donne les zéros. Le cours tire la formule de l'écart du doublet en deux lignes d'un raisonnement sur les ordres ; on l'a établie ici par le contraste, ce qui donne en plus le cas des intensités inégales et la lecture de la largeur des raies : c'est ce que le programme appelle accéder au profil spectral d'un doublet.