Problème : la formule de Fresnel et le facteur de contraste

La stratégie. Une intensité est la moyenne temporelle du carré de la vibration : on la calcule d'abord pour deux vibrations synchrones de déphasage fixe, ce qui donne la formule de Fresnel, puis on laisse fluctuer le déphasage et l'on moyenne le terme d'interférence. Toute lumière qui n'interfère pas ajoute son intensité sans moduler : le contraste mesure la part de l'éclairement qui interfère.

1) La formule de Fresnel. Représentons $s_k$ par un vecteur de longueur $a_k$ qui tourne à la vitesse angulaire $\omega$, d'angle $\omega t-{\phi }_k$ : c'est la construction de Fresnel (en notation complexe, l'amplitude ${\underline{a}}_k=a_k{e}^{-i{\phi }_k}$). Les deux vecteurs tournent ensemble, l'angle $\Delta \phi$ qui les sépare est constant, et leur somme est un vecteur de longueur constante $A$ qui tourne à la même vitesse : $s=A\cos (\omega t-\Phi )$, vibration sinusoïdale de pulsation $\omega$. Dans le triangle formé en mettant $a_2$ au bout de $a_1$, l'angle entre les deux côtés vaut $\pi -\Delta \phi$, et la loi des cosinus donne $$A^2=a_1^2+a_2^2+2a_1{a}_2\cos \Delta \phi .$$ En notation complexe, c'est $|a_1{e}^{-i{\phi }_1}+a_2{e}^{-i{\phi }_2}{|}^2$, qui donne le même résultat.

La moyenne du carré d'une sinusoïde, sur une durée très grande devant sa période, vaut la moitié du carré de son amplitude : $⟨s^2⟩=A^2/2$. Donc $$I=\frac{1}{2}K{A}^2=\frac{1}{2}K{a}_1^2+\frac{1}{2}K{a}_2^2+K{a}_1{a}_2\cos \Delta \phi .$$ Avec $I_k=\frac{1}{2}K{a}_k^2$, on a $K{a}_1{a}_2=2\sqrt{I_1{I}_2}$, d'où $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \Delta \phi$ : la formule de Fresnel, établie. Vérifications : pour $\Delta \phi =0$, les vecteurs sont alignés, $A=a_1+a_2$ et $I=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}{)}^2$ ; pour $\Delta \phi =\pi$, ils sont opposés, $A=|a_1-a_2|$ et $I=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}{)}^2$. La seule hypothèse sur le détecteur est ${\tau }_R\gg 2\pi /\omega$, toujours vérifiée (exercice 1, qui montre aussi ce que devient le terme d'interférence quand les pulsations diffèrent).

2) Le facteur de contraste. $I$ varie entre $I_{\max }=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}$ et $I_{\min }=I_1+I_2-2\sqrt{I_1{I}_2}$, autour de sa moyenne sur une période de $\Delta \phi$, $\bar{I}=I_1+I_2=(I_{\max }+I_{\min })/2$. En factorisant $\bar{I}$, $I=\bar{I}(1+V\cos \Delta \phi )$ avec $V=2\sqrt{I_1{I}_2}/(I_1+I_2)$ ; et $(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })=4\sqrt{I_1{I}_2}/(2(I_1+I_2))$ redonne la même valeur. Encadrement : $V\ge 0$, et $$1-V=\frac{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}{)}^2}{I_1+I_2}\ge 0,$$ avec égalité si et seulement si $I_1=I_2$. Sur la construction de Fresnel : $I_{\min }=0$ exige que les deux vecteurs, opposés, se compensent exactement, donc qu'ils aient la même longueur. Le contraste ne dépend que du rapport $I_2/I_1$ ; l'exercice 4 en a tiré $V=2r/(1+r^2)$ et sa robustesse. Homogénéité : $V$ est un rapport d'intensités, sans dimension.

3) La cohérence partielle. (a) Le calcul de la question 1 vaut à chaque instant avec le déphasage instantané $\Delta \phi +\Delta \psi (t)$, puisque les ${\psi }_k$ varient peu pendant une période : moyenné sur quelques périodes, $s^2$ vaut $\frac{1}{2}{A}^2(t)$, avec $A^2(t)=a_1^2+a_2^2+2a_1{a}_2\cos (\Delta \phi +\Delta \psi (t))$. La moyenne sur ${\tau }_R$ porte ensuite sur ce terme lent : $$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}⟨\cos (\Delta \phi +\Delta \psi )⟩.$$ Toute la cohérence des deux ondes est dans la moyenne du cosinus.

(b) Pendant la fraction $\gamma$ du temps, le cosinus vaut $\cos \Delta \phi$. Pendant la fraction $1-\gamma$, il prend des valeurs réparties uniformément sur un tour, de moyenne nulle, et si nombreuses pendant ${\tau }_R$ que leur moyenne est nulle. Donc $⟨\cos (\Delta \phi +\Delta \psi )⟩=\gamma \cos \Delta \phi$, et $$I=I_1+I_2+2\gamma \sqrt{I_1{I}_2}\cos \Delta \phi ,V=\gamma \frac{2\sqrt{I_1{I}_2}}{I_1+I_2}.$$ Le contraste se factorise : un facteur d'équilibre, qui ne dépend que de $I_2/I_1$, et un facteur de cohérence $\gamma$, qui ne dépend que de la source et du retard. On peut aussi l'écrire $I=\gamma (I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \Delta \phi )+(1-\gamma )(I_1+I_2)$ : une fraction $\gamma$ de la lumière interfère, le reste ajoute son intensité sans moduler. Cas limites : $\gamma =1$, déphasage stable, on retrouve la formule de Fresnel ; $\gamma =0$, aucune corrélation, $I=I_1+I_2$, c'est l'additivité des intensités. Dans le modèle des trains d'onde (exercice 6), $\gamma$ est la probabilité que les deux copies appartiennent au même train : $\gamma =1-|\delta |/{\ell }_c$ pour $|\delta |\le {\ell }_c$, et $0$ au-delà. L'exercice 6 l'avait obtenu pour $I_1=I_2$ ; la factorisation l'étend à des voies inégales.

4) La part incohérente. La lumière ambiante n'a aucune relation de phase stable avec celle de la diode : ses termes croisés avec $s_1$ et $s_2$ se moyennent à zéro, et son intensité s'ajoute. Avec $\bar{I}=I_1+I_2$ et $V_0$ le contraste sans lumière parasite, $$I=\bar{I}(1+V_0\cos \Delta \phi )+I_p=(\bar{I}+I_p)[1+\frac{V_0\bar{I}}{\bar{I}+I_p}\cos \Delta \phi ].$$ Le contraste devient $V=V_0\frac{\bar{I}}{\bar{I}+I_p}$ : la lumière parasite augmente la moyenne sans moduler. Perdre moins de $10\%$ du contraste exige $\bar{I}/(\bar{I}+I_p)\ge 0,9$, soit $I_p\le \bar{I}/9$ : la lumière parasite doit rester sous $11\%$ de l'éclairement utile. C'est pourquoi l'on observe des franges dans une salle obscure.

5) L'application. (a) Les intensités. Les deux voies masquées, il ne reste que la lumière ambiante : $I_p=0,50\mathrm{mV}$. Chaque voie seule donne son intensité plus le fond : $I_1=4,50-0,50=4,00\mathrm{mV}$ et $I_2=1,50-0,50=1,00\mathrm{mV}$. Le contraste mesuré vaut $$V_{\mathrm{mes}}=\frac{6,50-4,50}{6,50+4,50}=\frac{2,00}{11,0}=0,18.$$ Vérification : la moyenne $(I_{\max }+I_{\min })/2=5,50\mathrm{mV}$ est bien égale à $I_1+I_2+I_p$ ; les interférences redistribuent l'énergie sans la changer (exercice 2), quel que soit $\gamma$.

(b) Les trois facteurs. Équilibre : $2\sqrt{4,00\times 1,00}/5,00=0,80$. Fond : $5,00/5,50=0,91$. Il reste $$\gamma =\frac{V_{\mathrm{mes}}}{0,80\times 0,91}=\frac{0,182}{0,727}=0,25.$$ Contrôle : la demi-amplitude de la modulation, $(I_{\max }-I_{\min })/2=1,00\mathrm{mV}$, vaut $2\gamma \sqrt{I_1{I}_2}=4,00\gamma \mathrm{mV}$, d'où encore $\gamma =0,25$. Le déséquilibre coûte $20\%$ du contraste, le fond $9\%$, la cohérence $75\%$ : c'est elle qui domine.

(c) La différence de marche. ${\ell }_c\approx {\lambda }^2/\Delta \lambda =(630\mathrm{nm}{)}^2/(20\mathrm{nm})\approx 2,0\times 10^4\mathrm{nm}=20\mu \mathrm{m}$. Avec $\gamma =1-{\delta }_0/{\ell }_c$, on obtient ${\delta }_0=(1-\gamma ){\ell }_c\approx 0,75\times 20\mu \mathrm{m}\approx 15\mu \mathrm{m}$ : un ordre de grandeur, puisque la loi $1-\delta /{\ell }_c$ est celle du modèle et que ${\ell }_c$ n'est connue qu'à un facteur de l'ordre de $1$ près. D'une frange à la suivante, $\delta$ varie de $\lambda$ et $\gamma$ de $\lambda /{\ell }_c\approx 0,03$ : sur la fraction de micromètre explorée, $\gamma$ est pratiquement constant, et $I_{\max }$, $I_{\min }$ se lisent sur une même frange.

(d) La mesure pressée. La méthode de l'exercice 4 suppose $\gamma =1$ et $I_p=0$ : $\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}=\sqrt{6,50}=2,55$ et $\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}=\sqrt{4,50}=2,12$ (en $\mathrm{m}{\mathrm{V}}^{1/2}$), d'où $I_1\approx 5,45\mathrm{mV}$ et $I_2\approx 0,046\mathrm{mV}$ : un rapport d'intensités de $120$ au lieu de $4$. Les deux extrêmes ne suffisent pas : un contraste faible peut venir d'un déséquilibre, d'un fond ou d'un défaut de cohérence, et seules les mesures voie par voie, et dans le noir, séparent ces causes. Le protocole est donc : le fond, chaque voie seule, puis la figure.

6) Retrouver le contraste. (a) $\gamma =1$ en $\delta =0$ : il faut réduire $\delta$ de $15\mu \mathrm{m}$, donc déplacer le miroir de ${\delta }_0/2\approx 7,5\mu \mathrm{m}$, dans le sens où le contraste augmente. Il reste les deux autres facteurs : $V=0,80\times 0,91=0,73$ salle éclairée, $V=0,80$ dans le noir.

(b) $V=1$ dans le noir exige $I_1=I_2$ : on atténue la voie 1 d'un facteur $4$ en intensité. Alors $I_{\max }=(\sqrt{1,00}+\sqrt{1,00}{)}^2=4,0\mathrm{mV}$ au lieu de $(\sqrt{4,00}+\sqrt{1,00}{)}^2=9,0\mathrm{mV}$, et la demi-amplitude de la modulation, $2\sqrt{I_1{I}_2}$, passe de $4,0$ à $2,0\mathrm{mV}$. Salle éclairée, le contraste passe de $0,73$ à $2,0/(2,0+0,50)=0,80$ : on gagne un peu de contraste, mais on perd la moitié du signal modulé. L'œil, qui juge sur le contraste, peut y trouver son compte ; une photodiode, dont la sensibilité est la pente $|\mathrm{d}I/\mathrm{d}\delta |$ (exercice 3), proportionnelle à $\sqrt{I_1{I}_2}$, y perd. Bon contraste et signal fort sont deux exigences distinctes.

(c) Le résultat obtenu — la formule de Fresnel et le facteur de contraste. Deux ondes synchrones de déphasage stable donnent, par la moyenne temporelle du carré de la vibration, $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \Delta \phi$. La figure s'écrit $\bar{I}(1+V\cos \Delta \phi )$, avec $\bar{I}=I_1+I_2$ et le facteur de contraste $V=2\sqrt{I_1{I}_2}/(I_1+I_2)$, égal à $1$ si et seulement si les deux intensités sont égales. Une cohérence partielle multiplie $V$ par $\gamma$, fraction du temps où le déphasage est stable ; une lumière incohérente d'intensité $I_p$ le multiplie par $\bar{I}/(\bar{I}+I_p)$.

Ce que le problème installe. La formule de Fresnel établie par la moyenne temporelle du carré de la vibration, et sa forme utile, $\bar{I}(1+V\cos \Delta \phi )$. Puis la lecture d'un contraste mesuré comme un produit de facteurs (équilibre, cohérence, fond), que seules des mesures voie par voie séparent. L'additivité des intensités, la longueur de cohérence et le réglage d'un interféromètre se rejoignent dans cette seule formule.