optique ondulatoire (PT) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Réflexion ou transmission : ce que le contraste dit des intensités

Superposition d'ondes lumineuses · E. Contraste et visibilité · niveau 2

Énoncé

1) Deux ondes cohérentes ont des amplitudes $a_{1}$ et $a_{2}$ ; on pose $r = a_{2} / a_{1} \leq 1$ . Exprimer le contraste $V$ en fonction de $r$ . Pour quelle valeur de $r$ a-t-on $V = 0, 5$ , et quel rapport d'intensités cela représente-t-il ? Que vaut $V$ pour un rapport d'intensités de $100$ ? Commenter.

2) Une figure d'interférences présente $I_{m a x} = 16 W m^{- 2}$ et $I_{m i n} = 4 W m^{- 2}$ . En déduire $I_{1}$ , $I_{2}$ et $V$ .

3) Lame d'eau savonneuse. Une lame d'eau d'indice $n = 1, 33$ , dans l'air, est éclairée sous incidence quasi normale. À chaque passage d'un dioptre air-eau, la fraction $R = (\frac{n - 1}{n + 1})^{2}$ de l'intensité est réfléchie et la fraction $T = 1 - R$ transmise ; on néglige l'absorption. En réflexion, on retient deux ondes : celle réfléchie par la première face et celle qui traverse la première face, se réfléchit sur la seconde et ressort par la première. En transmission, on retient l'onde directement transmise et celle qui subit deux réflexions internes avant de sortir. Calculer $R$ , puis le contraste dans chaque cas (on n'a pas besoin de la différence de marche). Pourquoi les couleurs d'une bulle de savon se voient-elles en réflexion ? Justifier qu'on puisse négliger les autres ondes.

4) Séparatrice. Dans un interféromètre de Michelson, la séparatrice, infiniment mince et sans pertes, réfléchit la fraction $R$ et transmet $T = 1 - R$ de l'intensité ; les miroirs sont parfaits. Exprimer les intensités des deux ondes en sortie en fonction de l'intensité incidente $I_{e}$ . Le contraste dépend-il de $R$ ? Que gagne-t-on avec une séparatrice $50/50$ ? Comparer à une séparatrice $30/70$ .

Corrigé

La stratégie. On écrit le contraste en fonction du rapport des amplitudes. Dans un dispositif, on suit chaque voie : le produit des coefficients de réflexion et de transmission qu'elle subit donne son intensité.

1) Un contraste robuste. Avec $I_{k} \propto a_{k}^{2}$ , $V = \frac{2 I _{1} I _{2}}{I _{1} + I _{2}} = \frac{2 a _{1} a _{2}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2}}$ , et en divisant par $a_{1}^{2}$ : $V = \frac{2 r}{1 + r ^{2}} .$ Cas limites : $r = 1$ donne $V = 1$ ; $r \to 0$ donne $V \approx 2 r \to 0$ . $V = 0, 5$ s'écrit $r^{2} - 4 r + 1 = 0$ , dont la racine inférieure à $1$ est $r = 2 - 3 \approx 0, 27$ : un rapport d'intensités $1/ r^{2} \approx 13, 9$ . Pour un rapport d'intensités de $100$ , $r = 0, 1$ et $V = 0, 2/1, 01 \approx 0, 20$ . Le contraste est robuste, car il dépend du rapport des amplitudes, racine carrée de celui des intensités : un rapport d'intensités de $100$ laisse des franges discernables.

2) Remonter aux intensités. $I_{m a x} = (I_{1} + I_{2})^{2}$ et $I_{m i n} = (I_{1} - I_{2})^{2}$ , donc $I_{1} + I_{2} = 4$ et $I_{1} - I_{2} = 2$ (en $W^{1/2} m^{- 1}$ ), d'où $I_{1} = 3$ , $I_{2} = 1$ : $I_{1} = 9 W m^{- 2}, I_{2} = 1 W m^{- 2}, V = \frac{16 - 4}{16 + 4} = 0, 6.$ Vérification : $2 9 \times 1 / (9 + 1) = 0, 6$ . La mesure des deux extrêmes suffit à connaître les deux voies sans les isoler.

3) La lame de savon. $R = (0, 33/2, 33)^{2} = 0, 020$ , soit $2, 0 %$ : un dioptre air-eau réfléchit peu.

En réflexion, $I_{1} = R I_{e}$ et $I_{2} = T \cdot R \cdot T I_{e} = R (1 - R)^{2} I_{e}$ . Le rapport des amplitudes vaut $r = 1 - R = 0, 980$ , et $V_{r} = \frac{2 \times 0 , 980}{1 + 0 , 98 0 ^{2}} \approx 0, 9998.$ En transmission, $I_{1} = T^{2} I_{e}$ et $I_{2} = T \cdot R \cdot R \cdot T I_{e} = R^{2} T^{2} I_{e}$ : $r = R = 0, 020$ et $V_{t} = \frac{2 \times 0 , 020}{1 + 0 , 02 0 ^{2}} \approx 0, 040.$ Les deux ondes réfléchies ont des intensités presque égales : les franges, colorées parce que la condition de frange brillante dépend de $λ$ , sont parfaitement contrastées en réflexion. En transmission, une onde interfère avec une onde $2500$ fois plus faible : la modulation n'est que de $4 %$ , les couleurs sont délavées. Les autres ondes : la troisième onde réfléchie a subi deux réflexions internes de plus, son intensité est $R^{2} T^{2} \approx 4 \times 1 0^{- 4}$ fois celle de la première ; elle ne change pas ces conclusions.

4) La séparatrice. Chaque voie rencontre deux fois la séparatrice. La voie qui se réfléchit d'abord sur la séparatrice revient vers elle après son miroir et la traverse pour sortir : intensité $R T I_{e}$ . La voie qui la traverse d'abord revient et s'y réfléchit : intensité $T R I_{e}$ . Donc $I_{1} = I_{2} = R T I_{e} ⟹ V = 1 pour tout R .$ Le $50/50$ n'est pas nécessaire au contraste. Il maximise la luminosité : $I_{m a x} = 4 R T I_{e}$ vaut $I_{e}$ pour $R = T = 0, 5$ , et $4 \times 0, 3 \times 0, 7 = 0, 84 I_{e}$ pour une séparatrice $30/70$ ; le reste repart vers la source. Le contraste se dégrade en revanche si les deux miroirs n'ont pas le même pouvoir réflecteur.

Ce que l'exercice installe. $V = 2 r / (1 + r^{2})$ : le contraste se lit sur le rapport des amplitudes, ce qui le rend robuste. Pour prévoir le contraste d'un dispositif, on suit chaque voie et l'on multiplie les coefficients de réflexion et de transmission qu'elle rencontre. Bon contraste et grande luminosité sont deux exigences différentes.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

17 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 4 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →