Grêlon, goutte de pluie, bruine, pollen : quel modèle de traînée ?

La stratégie. On ne sait pas d'avance dans quel régime on est : on suppose un modèle, on calcule la vitesse, et l'on vérifie que le nombre de Reynolds obtenu est dans le domaine du modèle. Entre les deux domaines, on lit $C_x$ sur le graphe et l'on itère, ou l'on cherche l'intersection avec une droite.

1) Équilibre et vitesses limites. À la vitesse limite, l'accélération est nulle : $$({\rho }_s-\rho )\frac{4}{3}\pi R^{3}g=\frac{1}{2}\rho v^2\pi R^2{C}_x⟺v^2=\frac{4({\rho }_s-\rho )gD}{3\rho C_x}.$$ Avec $C_x=24/Re=24\eta /(\rho vD)$, la traînée est linéaire en $v$ ($F=6\pi \eta Rv$), et $$v_{\text{St}}=\frac{({\rho }_s-\rho )g{D}^2}{18\eta }.$$ Avec $C_x$ constant, la traînée est quadratique, et $$v_{\text{q}}=\sqrt{\frac{4({\rho }_s-\rho )gD}{3\rho C_x}}.$$ La première croît comme $D^2$, la seconde comme $\sqrt{D}$ : les petits objets sont « visqueux », les gros « inertiels ».

2) Pollen, goutte, grêlon.

Pollen, Stokes supposé. $$v=\frac{999\times 9,81\times (25\times 10^{-6}{)}^2}{18\times 1,8\times 10^{-5}}=1,9\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ $$Re=\frac{1,2\times 0,019\times 25\times 10^{-6}}{1,8\times 10^{-5}}=0,03\ll 1:$$ le modèle de Stokes convient. Deux centimètres par seconde : la moindre brise, le moindre courant ascendant emporte le pollen sur des kilomètres.

Goutte de $2\mathrm{mm}$, traînée quadratique supposée avec $C_x=0,45$. $$v=\sqrt{\frac{4\times 999\times 9,81\times 2\times 10^{-3}}{3\times 1,2\times 0,45}}=7,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},Re=\frac{1,2\times 7,0\times 2\times 10^{-3}}{1,8\times 10^{-5}}=930.$$ Le graphe y donne $C_x\approx 0,49$ : on corrige, $v=7,0\times \sqrt{0,45/0,49}=6,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $Re\approx 890$, $C_x\approx 0,50$, et finalement $v=6,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ($Re=880$), à $2\%$ de la mesure : la goutte, un peu aplatie, n'est déjà plus tout à fait une sphère.

Grêlon à $3\mathrm{km}$, traînée quadratique supposée. Avec $C_x=0,45$, $$v=\sqrt{\frac{4\times 899\times 9,81\times 0,03}{3\times 0,91\times 0,45}}=29\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},Re=\frac{0,91\times 29\times 0,03}{1,7\times 10^{-5}}=4,7\times 10^4,$$ où le graphe donne $C_x\approx 0,41$ ; d'où $v=31\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ($110\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$), $Re=5,0\times 10^4$. Le modèle quadratique convient : $C_x$ varie à peine entre $10^3$ et $10^5$. Pour qu'un tel grêlon grossisse, il faut des courants ascendants de plus de $30\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ dans le nuage : ce sont les orages violents.

3) La bruine, entre deux régimes. Stokes donne $v_{\text{St}}=1,21\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, donc $Re=16$, loin de $Re\lesssim 1$ : faux. La traînée quadratique avec $C_x=0,45$ donne $v_{\text{q}}=2,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, donc $Re=29$, où le graphe donne $C_x\approx 2,2$ et non $0,45$ : faux aussi. On itère avec $$v=\sqrt{\frac{4({\rho }_s-\rho )gD}{3\rho C_x}}=\frac{1,48}{\sqrt{C_x}}(\text{en }\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}),Re=13,3v:$$

La suite converge vers $v=0,74\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $Re\approx 9,8$, $C_x\approx 4,0$, à $3\%$ de la mesure. Plus élégant : l'équilibre s'écrit $C_x{v}^2=\frac{4({\rho }_s-\rho )gD}{3\rho }$, et en multipliant par ${\left(\frac{\rho D}{\eta }\right)}^2$, $$C_{x}R{e}^2=\frac{4({\rho }_s-\rho )g\rho D^3}{3{\eta }^2}=387,$$ indépendant de $v$. Sur le graphe en coordonnées logarithmiques, $C_x=387/R{e}^2$ est une droite de pente $-2$ : son intersection avec la courbe donne directement le point de fonctionnement.

4) La couche limite. Pour le grêlon, $R{e}^{-1/2}=(5,0\times 10^4{)}^{-1/2}=4,5\times 10^{-3}$ : la couche limite a une épaisseur de l'ordre de $0,45\%$ du diamètre, un dixième de millimètre. C'est là seulement que la vitesse passe de la valeur de l'écoulement extérieur à zéro (adhérence), avec des gradients de vitesse assez forts pour que la viscosité compte. Au-dehors, l'écoulement se comporte comme celui d'un fluide sans viscosité. Mais sur l'arrière de la sphère, la couche limite, freinée, se décolle de la surface : derrière le grêlon s'ouvre un sillage large et tourbillonnaire, où la pression reste basse. La différence de pression entre l'avant et l'arrière fait l'essentiel de la traînée ; la viscosité, par le décollement qu'elle provoque, en est la cause, sans en fournir directement la valeur. Au-delà de $Re\approx 3\times 10^5$, la couche limite devient turbulente avant de décoller : plus brassée, elle colle plus longtemps à la surface, le sillage se rétrécit, et $C_x$ tombe de $0,4$ à $0,1$ environ. Les alvéoles d'une balle de golf rendent la couche limite turbulente dès des nombres de Reynolds plus faibles, ceux d'un coup réel (de l'ordre de $10^5$) : la balle profite de la crise de traînée et va deux fois plus loin.

Ce que l'exercice installe. On suppose un modèle, on calcule, on vérifie le domaine de $Re$ ; entre les deux régimes, on itère sur le graphe, ou l'on trace la droite $C_{x}R{e}^2=$ constante, qui ne dépend pas de la vitesse inconnue. Le modèle de Stokes ne vaut que pour les très petits objets ($Re\lesssim 1$) ; la couche limite explique pourquoi la viscosité, petite, fixe pourtant la traînée.