phénomènes de transport (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Incompressible jusqu'où ? Voiture, TGV, avion, sonar

Fluides en écoulement · A. Description d'un fluide en écoulement · niveau 2

Énoncé

On cherche dans quelles conditions un écoulement peut être traité comme incompressible et homogène, c'est-à-dire avec une masse volumique constante et uniforme. On admet les données suivantes.

Quand un fluide de vitesse $v$ rencontre un obstacle, sa pression augmente au plus, au point d'arrêt (là où la vitesse s'annule), de $Δ P = \frac{1}{2} ρ v^{2}$ (admis ; on le justifiera par un bilan d'énergie).
Cette compression est rapide, sans échange thermique notable : la variation relative de volume est donnée par la compressibilité isentropique $χ_{S} = - \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial P})_{S}$ , qui vaut $\frac{1}{γ P}$ pour un gaz parfait.
La célérité du son dans un fluide vaut $c = \frac{1}{ρ χ _{S}}$ .

Air : $γ = 1, 40$ ; $P = 1, 013 bar$ et $ρ = 1, 225 kg m^{- 3}$ au sol ; $c = 295 m s^{- 1}$ à $11 km$ d'altitude. Eau : $ρ = 1, 00 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ , $χ_{S} = 4, 5 \times 1 0^{- 10} P a^{- 1}$ .

1) Montrer que la variation relative de masse volumique au point d'arrêt vaut au plus $\frac{Δ ρ}{ρ} \approx χ_{S} \frac{1}{2} ρ v^{2} = \frac{M a ^{2}}{2}$ , où $M a = \frac{v}{c}$ est le nombre de Mach. Calculer $c$ dans l'air au sol.

2) Calculer $M a$ et $Δ ρ / ρ$ pour une voiture à $130 km h^{- 1}$ , un TGV à $320 km h^{- 1}$ et un avion de ligne qui vole à $M a = 0, 82$ à $11 km$ d'altitude (on raisonne dans le référentiel du véhicule). Les aérodynamiciens tiennent un écoulement pour incompressible si $M a < 0, 3$ : quelle valeur de $Δ ρ / ρ$ ce critère accepte-t-il ? Conclure pour chaque véhicule.

3) L'eau : calculer la célérité du son. L'extrémité d'une pale d'hélice de navire tourne à $40 m s^{- 1}$ : $Δ ρ / ρ$ ? Au fond de l'océan, à $4 km$ , la pression statique vaut environ $400 bar$ : de combien l'eau y est-elle comprimée (on garde la même $χ_{S}$ ) ? Faut-il en tenir compte pour décrire les courants du fond ?

4) Écoulement incompressible ou fluide incompressible ? Discuter deux cas : la ventilation d'une salle de classe, où l'air circule à quelques mètres par seconde ; le sonar d'un sous-marin, qui émet dans l'eau une onde sonore.

Corrigé

La stratégie. Un écoulement est incompressible si $Δ ρ / ρ ≪ 1$ . Il suffit d'estimer la plus grande variation de pression due au mouvement, $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ , et de la convertir en variation de masse volumique par la compressibilité. L'ordre de grandeur se résume en un seul nombre sans dimension, le nombre de Mach.

1) Le critère. À masse fixée, $ρ V$ est constant, donc $\frac{d ρ}{ρ} = - \frac{d V}{V} = χ_{S} d P$ . Pour une variation de pression petite, $\frac{Δ ρ}{ρ} \approx χ_{S} Δ P ⩽ χ_{S} \frac{1}{2} ρ v^{2}$ , et comme $ρ χ_{S} = 1/ c^{2}$ : $\frac{Δ ρ}{ρ} \approx \frac{v ^{2}}{2 c ^{2}} = \frac{M a ^{2}}{2} .$ Pour l'air au sol, $χ_{S} = 1/ (γ P)$ donne $c = γ P / ρ = 1, 40 \times 1, 013 \times 1 0^{5} /1, 225 = 340 m s^{- 1}$ .

2) Les véhicules.

véhicule	$v$ ( $m s^{- 1}$ )	$M a$	$Δ ρ / ρ$
voiture, $130 km h^{- 1}$	$36, 1$	$0, 106$	$0, 56 %$
TGV, $320 km h^{- 1}$	$88, 9$	$0, 261$	$3, 4 %$
avion, $11 km$	$242$	$0, 82$	$34 %$

Le critère $M a < 0, 3$ accepte $Δ ρ / ρ < 0, 3^{2} /2 = 4, 5 %$ , soit, au sol, des vitesses inférieures à $100 m s^{- 1}$ environ. La voiture est largement dans le domaine incompressible ; le TGV y reste, de justesse ; pour l'avion, le modèle tombe : un tiers de variation de masse volumique n'est pas une petite correction, et la formule elle-même, établie au premier ordre, n'est plus qu'un ordre de grandeur. L'aérodynamique d'un avion de ligne est celle d'un écoulement compressible.

3) L'eau. $c = \frac{1}{1 , 00 \times 1 0 ^{3} \times 4 , 5 \times 1 0 ^{- 10}} = 1491 m s^{- 1}$ , quatre fois et demie la célérité dans l'air. Pour l'hélice, $M a = 0, 027$ et $\frac{Δ ρ}{ρ} = χ_{S} \frac{1}{2} ρ v^{2} = 4, 5 \times 1 0^{- 10} \times \frac{1}{2} \times 1, 00 \times 1 0^{3} \times 4 0^{2} = 3, 6 \times 1 0^{- 4} .$ Au fond de l'océan, $χ_{S} Δ P = 4, 5 \times 1 0^{- 10} \times 4 \times 1 0^{7} = 1, 8 %$ : l'eau y est un peu plus dense qu'en surface. Mais cette compression est statique : elle ne change pas d'un point à l'autre de l'écoulement des courants profonds, où les variations de pression dues au mouvement sont minuscules. Le courant est incompressible, avec une masse volumique un peu plus grande.

4) L'écoulement, pas le fluide. Dans une salle ventilée, l'air — le plus compressible des fluides usuels — circule à quelques mètres par seconde : $M a \sim 1 0^{- 2}$ , $Δ ρ / ρ \sim 4 \times 1 0^{- 5}$ . L'écoulement est incompressible. Il n'est pas forcément homogène : un radiateur qui chauffe l'air de $10 K$ change sa masse volumique de $3 %$ ( $Δ T / T$ ), bien plus que le mouvement ; c'est ce qui le fait monter. À l'inverse, l'onde d'un sonar est une suite de compressions et de détentes : la variation de masse volumique, minuscule, est l'onde elle-même, et la négliger reviendrait à donner au son une célérité infinie. C'est l'écoulement compressible d'un fluide presque incompressible. Incompressible se dit d'un écoulement, après comparaison d'un $Δ ρ / ρ$ à $1$ , et pour une question donnée.

Ce que l'exercice installe. « Incompressible » se juge sur l'écoulement, pas sur le fluide : on compare $Δ ρ / ρ$ à $1$ par un ordre de grandeur, ici $M a^{2} /2$ . L'air est incompressible jusqu'à $100 m s^{- 1}$ environ, l'eau presque toujours, sauf quand on s'intéresse au son ; « homogène » est une seconde hypothèse, que la température peut mettre en défaut.

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