Problème : la perfusion par gravité, établir la loi de Hagen-Poiseuille

La stratégie. Ni équation locale ni formule admise : un système fermé bien choisi (le fluide dans un cylindre coaxial), dont l'accélération est nulle, et un bilan de forces — pression sur les bases, viscosité sur la paroi latérale. On intègre deux fois : le profil, puis le débit. La loi obtenue a la forme d'une loi d'Ohm, et le circuit hydraulique de la perfusion se traite comme un circuit de résistances en série. On vérifie enfin, chiffres à l'appui, les deux conditions de la démonstration : régime laminaire et écoulement établi.

1) Le profil parabolique. L'écoulement est stationnaire ($\frac{\partial v}{\partial t}=0$) et établi : $v$ ne dépend pas de $x$, donc $v\frac{\partial v}{\partial x}=0$. L'accélération de chaque particule est nulle, et la somme des forces sur le système fermé est nulle. Selon ${\overrightarrow{u}}_x$ :

• les forces de pression sur les deux bases, d'aire $\pi r^2$ : $P_1\pi r^2$ sur la base d'entrée, $-P_2\pi r^2$ sur celle de sortie ; celles qui s'exercent sur la paroi latérale sont radiales ;
• la force de viscosité exercée par le fluide extérieur sur la surface latérale, d'aire $2\pi rL$, sur laquelle $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}$ est uniforme : $\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}2\pi rL$ ;
• le poids, normal à l'axe (conduite horizontale).

$$\Delta P\pi r^2+\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}2\pi rL=0⟹\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=-\frac{\Delta P}{2\eta L}r.$$ La vitesse décroît du centre vers la paroi : le fluide extérieur, plus lent, freine le cylindre, que la différence de pression pousse. En intégrant, et avec l'adhérence $v(a)=0$ : $$v(r)=\frac{\Delta P}{4\eta L}\left(a^2-r^2\right),v_{\max }=v(0)=\frac{\Delta P{a}^2}{4\eta L}.$$ Le profil est parabolique. Sur la paroi, la contrainte vaut $\eta {\left|\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right|}_{r=a}=\frac{\Delta Pa}{2L}$ : appliqué au cylindre $r=a$ tout entier, le bilan dit simplement que la force de pression $\Delta P\pi a^2$ équilibre le frottement sur la paroi.

2) Le débit et la résistance hydraulique. À travers la couronne de rayon $r$ et d'épaisseur $\mathrm{d}r$, d'aire $2\pi r\mathrm{d}r$, passe le débit $v(r)2\pi r\mathrm{d}r$ : $$D_V={\int }_0^a\frac{\Delta P}{4\eta L}\left(a^2-r^2\right)2\pi r\mathrm{d}r=\frac{\pi \Delta P}{2\eta L}{\left[\frac{a^2{r}^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]}_0^a=\frac{\pi a^4}{8\eta L}\Delta P.$$ La vitesse débitante vaut $\bar{v}=\frac{D_V}{\pi a^2}=\frac{\Delta P{a}^2}{8\eta L}=\frac{v_{\max }}{2}$. La relation $\Delta P=R_h{D}_V$ définit la résistance hydraulique $$R_h=\frac{8\eta L}{\pi a^4}(\text{en }\mathrm{Pa}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-3}).$$ C'est une loi d'Ohm : la différence de pression joue le rôle de la tension, le débit celui de l'intensité. Deux conduites parcourues l'une après l'autre par le même débit (le fluide, de masse volumique constante, ne s'accumule pas à leur jonction) ont des chutes de pression qui s'ajoutent : $\Delta P=\Delta P_1+\Delta P_2=(R_1+R_2)D_V$, les résistances en série s'ajoutent. Numériquement : $$R_{\text{tub}}=\frac{8\times 1,0\times 10^{-3}\times 1,70}{\pi \times (1,5\times 10^{-3}{)}^4}=8,6\times 10^8\mathrm{Pa}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-3},$$ $$R_{22G}=\frac{8\times 1,0\times 10^{-3}\times 0,025}{\pi \times (0,30\times 10^{-3}{)}^4}=7,9\times 10^9\mathrm{Pa}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-3}.$$ Le cathéter, soixante-huit fois plus court que la tubulure, résiste neuf fois plus : son rayon est cinq fois plus petit, et $5^4=625$. La résistance est en $L/a^4$ : c'est le rayon qui commande.

3) La perfusion prescrite. Entre la surface libre de la chambre ($P_{\text{atm}}$, altitude $h$ au-dessus du bras) et la veine ($P_{\text{atm}}+P_v$), la différence des valeurs de $P+\rho gz$ vaut $$\Delta P=\rho gh-P_v=1,00\times 10^3\times 9,81\times 1,00-1,07\times 10^3=8,74\times 10^3\mathrm{Pa}.$$ Molette grande ouverte, la loi prédit $$D_V=\frac{8,74\times 10^3}{8,6\times 10^8+7,9\times 10^9}=1,00\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}=60\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}:$$ un litre en moins de vingt minutes. La prescription demande $$D_V=\frac{1,0\times 10^{-3}}{8\times 3600}=3,47\times 10^{-8}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}=2,08\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1},$$ soit $2,08\times 20=42$ gouttes par minute, ce que l'infirmier règle en comptant les gouttes. La résistance totale doit valoir $$R_{\text{tot}}=\frac{\Delta P}{D_V}=\frac{8,74\times 10^3}{3,47\times 10^{-8}}=2,5\times 10^{11}\mathrm{Pa}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-3},$$ dont la molette fournit $2,5\times 10^{11}-8,7\times 10^9=2,4\times 10^{11}$, soit $96,5\%$. La chute de pression se répartit comme les résistances : $30\mathrm{Pa}$ dans la tubulure, $270\mathrm{Pa}$ dans le cathéter, $8440\mathrm{Pa}$ dans la molette. C'est la molette qui règle le débit ; le cathéter ne compte presque pas. En revanche, le débit est proportionnel à la pression motrice : remonter la poche de $10\mathrm{cm}$ l'augmente de $11\%$, et l'on recompte les gouttes après chaque déplacement du patient.

Vérification. Dans le cathéter, $$\bar{v}=\frac{3,47\times 10^{-8}}{\pi \times (0,30\times 10^{-3}{)}^2}=0,12\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},Re=\frac{1,00\times 10^3\times 0,12\times 0,60\times 10^{-3}}{1,0\times 10^{-3}}=74;$$ dans la tubulure, de diamètre cinq fois plus grand, $\bar{v}$ est vingt-cinq fois plus petite et $Re=15$. Les deux écoulements sont laminaires. La longueur d'établissement dans le cathéter vaut $L_e=0,06\times 74\times 0,60\mathrm{mm}=2,7\mathrm{mm}\ll 25\mathrm{mm}$ (dans la tubulure, $2,7\mathrm{mm}$ aussi, devant $1,70\mathrm{m}$) : l'écoulement est établi sur presque toute la longueur. Enfin, $\frac{1}{2}\rho {\bar{v}}^2=7,5\mathrm{Pa}$ dans le cathéter, négligeable devant les $270\mathrm{Pa}$ qu'y coûte la viscosité. La loi de Hagen-Poiseuille s'applique à la perfusion d'entretien.

4) Les limites : molette grande ouverte. Le débit prédit, $60\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, donne dans le cathéter $\bar{v}=3,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $$Re=\frac{1,00\times 10^3\times 3,5\times 0,60\times 10^{-3}}{1,0\times 10^{-3}}=2130,$$ à la limite du régime laminaire ; la longueur d'établissement vaut $L_e=0,06\times 2130\times 0,60\mathrm{mm}=77\mathrm{mm}$, trois fois la longueur du cathéter : le profil n'a jamais le temps de devenir parabolique. Dans la zone d'entrée, le profil, encore plat, a près de la paroi des gradients de vitesse plus forts : le frottement y est plus grand que dans l'écoulement établi. Surtout, $\frac{1}{2}\rho {\bar{v}}^2=6,3\mathrm{kPa}$ : mettre le liquide en mouvement à $3,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ coûte $72\%$ de la pression motrice, que la démonstration n'a pas comptés. Les deux effets réduisent le débit : la loi le surestime, $60\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ contre les $36\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ annoncés. On ne prolonge pas une loi hors des hypothèses qui l'ont établie.

5) Le remplissage rapide. À viscosité égale, $R_h\propto L/a^4$ : $$\frac{R_{22G}}{R_{14G}}=\frac{25}{50}\times {\left(\frac{0,85}{0,30}\right)}^4=32,\frac{R_{\text{central}}}{R_{14G}}=\frac{200}{50}\times {\left(\frac{0,85}{0,50}\right)}^4=33.$$ Le cathéter central, malgré son diamètre de $1\mathrm{mm}$, résiste trente-trois fois plus que le 14G, à cause de sa longueur et de son rayon $1,7$ fois plus petit : d'où l'adage des urgentistes, « court et large ». Avec la tubulure et un 14G, la loi prédirait $$D_V=\frac{8,74\times 10^3}{8,6\times 10^8+2,4\times 10^8}=8,0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}=480\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1};$$ mais alors $Re=6000$ dans le cathéter et $3400$ dans la tubulure : l'écoulement est turbulent, et le débit réel est plus faible (le fabricant annonce $330\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ pour le cathéter seul). La tubulure, qui résiste maintenant trois fois et demie plus que le cathéter, devient l'obstacle principal : on utilise des tubulures de transfusion plus larges. Le sang, $3,5$ fois plus visqueux, divise le débit par $3,5$ à pression égale (en régime laminaire, $D_V\propto 1/\eta$). Une manchette à $300\mathrm{mmHg}=40\mathrm{kPa}$ porte la pression motrice à $40,0+9,81-1,07=48,7\mathrm{kPa}$, $5,6$ fois plus. Les ordres de grandeur et les tendances sont justes ; les valeurs exactes, en régime rapide, ne le sont plus, puisque $Re$ dépasse $2000$.

6) Le résultat.

($Re$ et $L_e$ dans le cathéter ; débits annoncés au banc : $36$ et $330\mathrm{mL}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$.)

Le résultat obtenu — la loi de Hagen-Poiseuille. Dans une conduite cylindrique de rayon $a$ et de longueur $L$, en écoulement laminaire, stationnaire et établi d'un fluide de viscosité $\eta$, le profil des vitesses est parabolique, $v(r)=\frac{\Delta P}{4\eta L}\left(a^2-r^2\right)$, et le débit vaut $$D_V=\frac{\pi a^4}{8\eta L}\Delta P:$$ la conduite est une résistance hydraulique $R_h=\frac{8\eta L}{\pi a^4}$, et les résistances en série s'ajoutent. La loi vaut tant que $Re\lesssim 2000$ et que la conduite est longue devant la longueur d'établissement ; le débit est en $a^4$ : diviser le rayon par deux divise le débit par seize.

Ce que l'exercice installe. Le chemin complet d'un problème d'écoulement visqueux : un système fermé bien choisi, d'accélération nulle, un bilan de forces (pression sur les bases, viscosité sur la paroi), la loi de Newton et l'adhérence, puis deux intégrations ; la loi obtenue se lit comme une loi d'Ohm, et un circuit hydraulique comme un circuit de résistances. Puis le réflexe qui fait la différence : vérifier les hypothèses par des nombres — le nombre de Reynolds, la longueur d'établissement, la pression nécessaire pour mettre le fluide en mouvement — et savoir dire où la loi cesse de valoir.