La lance d'incendie : ce que tient le porte-lance, ce que tiennent les filets de la buse

La stratégie. Deux volumes de contrôle, deux systèmes fermés, deux forces. Le premier englobe toute la lance : la pression qui règne à l'intérieur y devient une force intérieure, et seule compte la quantité de mouvement que le jet emporte horizontalement. Le second isole la buse : la pression de l'eau à son entrée est alors une force extérieure, et elle domine.

1) Débits, vitesses, pression. $D_v=\frac{500\times 10^{-3}}{60}=8,33\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$, d'où $D_m=\rho D_v=8,33\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$. Les sections valent $S_1=\frac{\pi d_1^2}{4}=1,590\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ et $S_2=\frac{\pi d_2^2}{4}=2,545\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$. L'eau étant incompressible, le débit volumique se conserve : $$v_1=\frac{D_v}{S_1}=5,24\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},v_2=\frac{D_v}{S_2}=32,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=v_1{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^2.$$ L'écoulement dans la lance est stationnaire, incompressible, homogène et, frottements négligés, parfait : la relation de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant, du raccord à la sortie ; les altitudes se compensent à $\rho g\times 0,1\mathrm{m}\approx 1\mathrm{kPa}$ près, négligeable ici. Avec $P_2=P_a$ : $$P_1-P_a=\frac{1}{2}\rho \left(v_2^2-v_1^2\right)=\frac{1}{2}\times 1000\times \left(32,7^2-5,24^2\right)=5,22\times 10^5\mathrm{Pa}=5,2\mathrm{bar}.$$ C'est l'ordre de grandeur de la pression de travail d'une lance (de 5 à 7 bars) : presque toute la pression sert à accélérer l'eau dans la buse.

2) Système 1 : la lance entière. Volume de contrôle : l'intérieur de la lance, du raccord (section 1, horizontale, traversée vers le haut à la vitesse $v_1{\overrightarrow{e}}_z$) à la sortie de la buse (section 2, verticale, traversée à $v_2{\overrightarrow{e}}_x$) ; on y ajoute la lance elle-même, solide immobile. Système fermé associé ${\Sigma }_1^{\ast }$ : à $t$, la lance, l'eau qu'elle contient et la masse $\mathrm{d}m$ qui se trouve encore dans le tuyau, juste sous le raccord ; à $t+\mathrm{d}t$, la lance, l'eau qu'elle contient et la masse $\mathrm{d}m$ sortie dans le jet. Le régime étant stationnaire, la lance et son contenu ont la même quantité de mouvement aux deux instants, et $$\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }=\mathrm{d}m(v_2{\overrightarrow{e}}_x-v_1{\overrightarrow{e}}_z),\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_m(v_2{\overrightarrow{e}}_x-v_1{\overrightarrow{e}}_z).$$ Inventaire des forces extérieures, en pressions relatives : le poids de la lance et de l'eau (vertical) ; sur la section 1, la poussée $(P_1-P_a)S_1{\overrightarrow{e}}_z$ de l'eau du tuyau et l'action de la paroi du tuyau (verticales par hypothèse) ; sur la section 2 et sur toute la surface extérieure de la lance, la pression atmosphérique (relative nulle) ; la force $\overrightarrow{F}$ du porte-lance. Loi de la quantité de mouvement, dans le référentiel terrestre (galiléen), projetée sur ${\overrightarrow{e}}_x$ : seule $\overrightarrow{F}$ a une composante horizontale, et $$F_x=D_m{v}_2=8,33\times 32,7=273\mathrm{N}.$$ $F_x>0$ : le porte-lance doit pousser la lance vers l'avant, dans le sens du jet ; laissée libre, la lance recule. L'interprétation est directe : chaque seconde, le jet emporte vers l'avant la quantité de mouvement $D_m{v}_2$ que l'eau n'avait pas en montant dans le tuyau ; il faut qu'une force extérieure horizontale la lui donne, et seul le porte-lance le peut. Les $273\mathrm{N}$ dépassent les $250\mathrm{N}$ qu'un porte-lance tient durablement : il faut un second porte-lance, ou réduire le débit. La projection verticale, elle, fait intervenir le poids et l'effort du tuyau : on ne la demande pas.

3) Système 2 : l'eau de la buse. Volume de contrôle : l'intérieur de la buse, de son entrée (section $S_1$, vitesse $v_1{\overrightarrow{e}}_x$) à sa sortie. À l'entrée de la buse, le corps de lance ayant la section du tuyau, la vitesse vaut encore $v_1$ et, par la relation de Bernoulli à altitude égale, la pression vaut encore $P_1$. Système fermé associé ${\Sigma }_2^{\ast }$ : à $t$, l'eau de la buse et la masse $\mathrm{d}m$ qui va y entrer ; à $t+\mathrm{d}t$, l'eau de la buse et la masse $\mathrm{d}m$ sortie. En régime stationnaire, $$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_m(v_2-v_1){\overrightarrow{e}}_x.$$ Forces horizontales : à l'entrée, l'eau du corps de lance pousse ${\Sigma }_2^{\ast }$ vers l'avant avec $(P_1-P_a)S_1{\overrightarrow{e}}_x$ ; à la sortie, pression relative nulle ; les parois de la buse exercent la force $\overrightarrow{R}$ (pression et frottement) ; le poids est vertical. D'où $$D_m(v_2-v_1)=(P_1-P_a)S_1+R_x,$$ d'où $$R_x=D_m(v_2-v_1)-(P_1-P_a)S_1=229-831=-602\mathrm{N}.$$ La buse retient l'eau vers l'arrière ; par le principe des actions réciproques, l'eau (avec l'air extérieur, puisqu'on a compté en pressions relatives) pousse la buse vers l'avant avec $602\mathrm{N}$ : elle tend à la dévisser en l'arrachant de la lance, et les filets travaillent en traction.

4) Deux systèmes, deux forces. La force sur la buse est dominée par la pression à son entrée ($831\mathrm{N}$), que le changement de vitesse ne compense qu'en partie ($229\mathrm{N}$). Pour le système 1, cette pression n'est qu'une action intérieure : l'eau pousse la buse vers l'avant, mais elle pousse le coude vers l'arrière. Vérifions-le sur l'eau du corps de lance, du raccord (vitesse $v_1{\overrightarrow{e}}_z$) à l'entrée de la buse (vitesse $v_1{\overrightarrow{e}}_x$, pression $P_1$) : son système fermé associé vérifie, en projection horizontale, $D_m{v}_1=-(P_1-P_a)S_1+R_x^{\prime }$, où $-(P_1-P_a)S_1$ est la poussée de l'eau de la buse, vers l'arrière, et $R_x^{\prime }$ l'action du corps de lance. Ainsi $R_x^{\prime }=D_m{v}_1+(P_1-P_a)S_1=43,7+831=875\mathrm{N}$ : l'eau pousse le corps de lance vers l'arrière avec $875\mathrm{N}$. La lance (solide) reçoit donc de l'eau $602-875=-273\mathrm{N}$, vers l'arrière, exactement ce que le porte-lance compense : les deux bilans sont cohérents.

Buse obturée. Plus de débit : le porte-lance n'a rien à tenir horizontalement (aucune quantité de mouvement emportée, et les forces de pression intérieures s'équilibrent sur la lance). La buse, elle, reçoit la pression statique sur toute sa section d'entrée : $(P-P_a)S_1=6\times 10^5\times 1,590\times 10^{-3}=954\mathrm{N}$. Les filets sont plus chargés lance fermée que lance ouverte : c'est la pression qui les charge, pas le débit.

Débit doublé. Toutes les vitesses doublent, donc la pression et les forces quadruplent : $P_1-P_a=20,9\mathrm{bar}$ (au-delà de ce que supportent pompes et tuyaux), réaction $1,09\mathrm{kN}$, force sur la buse $2,41\mathrm{kN}$. La réaction $\rho D_v^2/S_2$ croît comme le carré du débit : un porte-lance seul tient au plus $D_v=\sqrt{250S_2/\rho }=8,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $480\mathrm{L}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ avec cette buse. Le débit de l'énoncé est juste au-delà.

Ce que l'exercice installe. La force calculée dépend du système choisi : la réaction sur le porte-lance ne voit que la quantité de mouvement emportée par le jet, la force sur la buse voit d'abord la pression à son entrée. L'inventaire des forces extérieures n'oublie jamais la pression sur les sections coupées, toujours dirigée vers l'intérieur du système ; une force intérieure à un système (la pression dans la lance) devient extérieure dès qu'on coupe le système en deux.