Le coude d'une conduite forcée et son massif d'ancrage

La stratégie. Le volume de contrôle est l'intérieur du coude ; les deux sections coupées reçoivent chacune la poussée $(P-P_a)S$ de l'eau voisine, et la quantité de mouvement change de direction sans changer de norme. Les deux contributions s'ajoutent selon la même direction, la bissectrice extérieure du coude.

1) Système fermé et pressions relatives. Volume de contrôle : l'eau contenue dans le coude, entre la section d'entrée 1 (vitesse $v{\overrightarrow{u}}_1$) et la section de sortie 2 (vitesse $v{\overrightarrow{u}}_2$), où ${\overrightarrow{u}}_1$ et ${\overrightarrow{u}}_2$ sont les vecteurs unitaires de l'écoulement, qui font l'angle $\alpha$. La section est la même : $v=\frac{D_v}{S}=\frac{20}{\pi \times 1,0^2}=6,37\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Système fermé ${\Sigma }^{\ast }$ : à $t$, l'eau du coude et la masse $\mathrm{d}m$ qui va franchir la section 1 ; à $t+\mathrm{d}t$, l'eau du coude et la masse $\mathrm{d}m$ qui a franchi la section 2. En régime stationnaire, $$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_{m}v({\overrightarrow{u}}_2-{\overrightarrow{u}}_1),D_m=\rho D_v=2,0\times 10^4\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Pression uniforme sur une surface fermée. Une pression uniforme $P_0$ exerce sur une surface fermée $\Sigma$ la résultante $-P_0{\oint }_{\Sigma }\overrightarrow{n}\mathrm{d}S$ ($\overrightarrow{n}$ normale sortante). Sa composante sur un axe ${\overrightarrow{e}}_x$ quelconque vaut $-P_0{\oint }_{\Sigma }{\overrightarrow{e}}_x\cdot \overrightarrow{n}\mathrm{d}S$ : c'est $-P_0$ fois le flux d'un vecteur uniforme à travers une surface fermée, nul (découpons l'espace en tubes fins parallèles à ${\overrightarrow{e}}_x$ : chacun découpe sur $\Sigma$ deux éléments de même projection sur un plan perpendiculaire à ${\overrightarrow{e}}_x$, dont les contributions sont opposées). La résultante est nulle. Écrivons alors toutes les pressions $P=P_a+(P-P_a)$ : la part uniforme $P_a$, qui presse toute la frontière fermée d'un système, ne contribue pas à la résultante, et il ne reste que les pressions relatives. Inventaire des forces horizontales sur ${\Sigma }^{\ast }$ : sur la section 1, l'eau amont pousse avec $(P-P_a)S{\overrightarrow{u}}_1$ ; sur la section 2, l'eau aval repousse vers l'intérieur avec $-(P-P_a)S{\overrightarrow{u}}_2$ ; les parois du coude exercent $\overrightarrow{R}$. Le poids est vertical et équilibré par la composante verticale de l'action des parois.

2) La force sur le coude. La loi de la quantité de mouvement appliquée à ${\Sigma }^{\ast }$ dans le référentiel terrestre donne $$D_{m}v({\overrightarrow{u}}_2-{\overrightarrow{u}}_1)=(P-P_a)S({\overrightarrow{u}}_1-{\overrightarrow{u}}_2)+\overrightarrow{R},$$ d'où $$\overrightarrow{R}=-[(P-P_a)S+D_{m}v]({\overrightarrow{u}}_1-{\overrightarrow{u}}_2).$$ L'eau exerce sur le coude $\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{R}$ : $$\boxed{\overrightarrow{F}=[(P-P_a)S+D_{m}v]({\overrightarrow{u}}_1-{\overrightarrow{u}}_2)},\Vert \overrightarrow{F}\Vert =2[(P-P_a)S+D_{m}v]\sin \frac{\alpha }{2},$$ car ${\overrightarrow{u}}_1$ et ${\overrightarrow{u}}_2$, unitaires, forment un triangle isocèle d'angle au sommet $\alpha$. La direction de ${\overrightarrow{u}}_1-{\overrightarrow{u}}_2$ est la bissectrice extérieure du coude : l'eau pousse le coude vers l'extérieur du virage. Numériquement, $(P-P_a)S=40\times 10^5\times 3,14=12,57\mathrm{MN}$ et $D_{m}v=2,0\times 10^4\times 6,37=0,127\mathrm{MN}$, soit $1\%$ de la pression : avec $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $$\Vert \overrightarrow{F}\Vert =12,57+0,13=12,7\mathrm{MN},$$ le poids de quelque $1300$ tonnes. La pression fait presque tout.

3) Sans débit, puis au coup de bélier. Vanne fermée, $D_m=0$ et $\Vert \overrightarrow{F}\Vert =2(P-P_a)S\sin 30^{\circ }=12,57\mathrm{MN}$ : la force existe sans écoulement, presque inchangée ; c'est la poussée hydrostatique sur le fond d'un tuyau qui tourne. Au passage du coup de bélier, l'eau du coude est arrêtée et la pression relative vaut $1,3\times 40=52\mathrm{bar}$ : $\Vert \overrightarrow{F}\Vert =1,3\times 12,57=16,3\mathrm{MN}$. C'est ce cas qui dimensionne l'ouvrage.

4) Le massif. Le massif ne glisse pas tant que $\Vert \overrightarrow{F}\Vert ⩽0,5Mg$, soit $M⩾\frac{\Vert \overrightarrow{F}\Vert }{0,5g}$. En service, $M⩾\frac{12,7\times 10^6}{0,5\times 9,81}=2,59\times 10^6\mathrm{kg}$, soit $\frac{2,59\times 10^6}{2300}=1125{\mathrm{m}}^3$ de béton ; pour le coup de bélier, $M⩾3,33\times 10^6\mathrm{kg}$, soit $1450{\mathrm{m}}^3$, un cube de plus de $11\mathrm{m}$ de côté (sans coefficient de sécurité). L'eau contenue dans le coude, une dizaine de mètres cubes, pèse cent fois moins : la négliger était légitime.

5) Cas limites. Si $\alpha \to 0$, $\sin (\alpha /2)\to 0$ : une conduite droite ne subit aucune force (les poussées des deux sections se compensent, et la quantité de mouvement ne change pas). Pour $\alpha =180^{\circ }$, ${\overrightarrow{u}}_2=-{\overrightarrow{u}}_1$ et $\Vert \overrightarrow{F}\Vert =2[(P-P_a)S+D_{m}v]=25,4\mathrm{MN}$, le maximum, dirigé selon ${\overrightarrow{u}}_1$. Pour un coude à angle droit, $\Vert \overrightarrow{F}\Vert =\sqrt{2}\times 12,7=18,0\mathrm{MN}$, à $45^{\circ }$ des deux branches.

Ce que l'exercice installe. Dans une conduite sous pression, c'est la pression qui pousse le coude, le débit ne compte que pour $1\%$ ; la force existe à débit nul. Le résultat se construit en vecteurs : deux poussées et deux débits de quantité de mouvement qui s'ajoutent selon la bissectrice extérieure. Et une conséquence d'ingénieur : un coude de conduite forcée s'ancre dans un millier de mètres cubes de béton, dimensionné sur le coup de bélier.