Problème : l'éolienne en mer et la limite de Betz

La stratégie. Trois relations entre trois vitesses : le bilan de quantité de mouvement sur tout le tube donne la poussée en fonction de $V-v_3$ ; la relation de Bernoulli, de chaque côté du disque, donne la même poussée par le saut de pression ; leur égalité fixe $v_d$. Le bilan d'énergie cinétique donne ensuite la puissance, qu'il ne reste qu'à maximiser.

1) Le tube. L'air est incompressible et ne traverse pas la paroi latérale du tube : $D_m=\rho A_{1}V=\rho S{v}_d=\rho A_3{v}_3$, d'où $$A_1=S\frac{v_d}{V},A_3=S\frac{v_d}{v_3}.$$ L'air ralentit ($V>v_d>v_3$), donc $A_1<S<A_3$ : le tube s'élargit en traversant l'éolienne. Système fermé associé ${\Sigma }^{\ast }$ : à $t$, l'air du tube entre $A_1$ et $A_3$ et la masse $\mathrm{d}m=D_m\mathrm{d}t$ qui va franchir $A_1$ ; à $t+\mathrm{d}t$, l'air du tube et la masse $\mathrm{d}m$ qui a franchi $A_3$. En régime stationnaire, $$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_m(v_3-V){\overrightarrow{e}}_x,$$ ${\overrightarrow{e}}_x$ étant le sens du vent.

2) La poussée. Forces extérieures selon ${\overrightarrow{e}}_x$ sur ${\Sigma }^{\ast }$ : pression $P_a$ sur $A_1$ et sur $A_3$, et résultante nulle sur la paroi latérale (admis) : en pressions relatives, aucune force de pression ; le poids est vertical ; le disque (les pales) exerce sur l'air la force $-T{\overrightarrow{e}}_x$, opposée à celle que l'air exerce sur lui. La loi de la quantité de mouvement donne $$D_m(v_3-V)=-T⟹\boxed{T=D_m(V-v_3)}.$$ $T>0$ : l'air, ralenti, pousse le rotor dans le sens du vent. C'est l'effort que la tour et ses fondations doivent tenir.

3) Le saut de pression et le résultat de Froude. À la traversée du disque, les pales prélèvent de l'énergie à l'air : l'écoulement n'y est pas celui d'un fluide parfait sans échange, et $P+\frac{1}{2}\rho v^2$ n'y est pas conservé. De part et d'autre, l'écoulement est parfait, stationnaire, incompressible, homogène, horizontal : la relation de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant, de $A_1$ au disque, puis du disque à $A_3$ : $$P_a+\frac{1}{2}\rho V^2=P^{+}+\frac{1}{2}\rho v_d^2,P^{-}+\frac{1}{2}\rho v_d^2=P_a+\frac{1}{2}\rho v_3^2,$$ d'où, en ajoutant membre à membre, $$\Delta P=P^{+}-P^{-}=\frac{1}{2}\rho \left(V^2-v_3^2\right).$$ Tranche mince : volume de contrôle d'épaisseur infiniment petite contenant le disque ; l'air y entre et en sort à la même vitesse $v_d$, donc sa quantité de mouvement ne change pas ; les forces sont $P^{+}S$ (vers l'aval), $-P^{-}S$ et $-T$ (pales), la paroi latérale de la tranche étant d'aire nulle. D'où $0=(P^{+}-P^{-})S-T$, soit $T=\Delta PS$. En égalant les deux expressions de $T$, avec $D_m=\rho S{v}_d$ : $$\rho S{v}_d(V-v_3)=\frac{1}{2}\rho S(V-v_3)(V+v_3)⟹\boxed{v_d=\frac{V+v_3}{2}}.$$ La vitesse dans le disque est la moyenne des vitesses lointaines : la moitié du ralentissement se fait avant le disque, par la surpression qui s'y accumule en amont.

4) La puissance. Théorème de l'énergie cinétique appliqué à ${\Sigma }^{\ast }$ : $\frac{\mathrm{d}{E}_c^{\ast }}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}{D}_m\left(v_3^2-V^2\right)$. Puissances : forces de pression sur $A_1$ et $A_3$, $P_a{A}_{1}V-P_a{A}_3{v}_3=P_a(D_v-D_v)=0$ (incompressible) ; sur la paroi latérale, la vitesse est tangente et la force de pression normale : puissance nulle ; poids : nulle (écoulement horizontal) ; forces intérieures : nulle (écoulement parfait et incompressible, admis) ; pales : $-\mathcal{P}$, puisque le rotor prélève $\mathcal{P}$. D'où $$\boxed{\mathcal{P}=\frac{1}{2}{D}_m\left(V^2-v_3^2\right)}=\frac{1}{2}\rho S{v}_d\left(V^2-v_3^2\right).$$ Et $T{v}_d=D_m(V-v_3)\frac{V+v_3}{2}=\mathcal{P}$ : la puissance prélevée est celle de la force $-T$ des pales sur un air qui la traverse à la vitesse $v_d$. Les deux bilans sont cohérents.

5) Le maximum. $v_d=V(1-a)$ et $v_3=2v_d-V=V(1-2a)$ ; il faut $v_3⩾0$, donc $0⩽a⩽\frac{1}{2}$ (au-delà, le modèle d'un tube qui s'élargit sans retour d'air tombe). Alors $$\mathcal{P}=\frac{1}{2}\rho SV(1-a)V^2\left[1-(1-2a{)}^2\right]=\frac{1}{2}\rho S{V}^3(1-a)\times 4a(1-a)⟹C_p=4a(1-a{)}^2.$$ $\frac{\mathrm{d}{C}_p}{\mathrm{d}a}=4(1-a)(1-3a)$ s'annule pour $a=\frac{1}{3}$, maximum dans $[0,\frac{1}{2}]$ : $$C_{p,\max }=4\times \frac{1}{3}\times \frac{4}{9}=\frac{16}{27}=0,593,v_d=\frac{2V}{3},v_3=\frac{V}{3}.$$ Les deux extrêmes ne valent rien : sans ralentir l'air ($a=0$), on ne prélève rien ; en l'arrêtant ($a=\frac{1}{2}$, $v_3=0$), on bloque le passage, et le vent contourne l'éolienne. À l'optimum, $A_1=\frac{2}{3}S$ et $A_3=2S$ : le tube passe d'un diamètre $D\sqrt{2/3}=180\mathrm{m}$ en amont à $D\sqrt{2}=311\mathrm{m}$ en aval.

6) L'éolienne réelle. $S=\pi \times 110^2=3,80\times 10^4{\mathrm{m}}^2$ ; le vent qui traverse cette surface transporte la puissance cinétique $$\frac{1}{2}\rho S{V}^3=\frac{1}{2}\times 1,225\times 3,80\times 10^4\times 11^3=31,0\mathrm{MW},$$ dont la limite de Betz autorise $\frac{16}{27}\times 31,0=18,4\mathrm{MW}$. À $12\mathrm{MW}$, $C_p=\frac{12}{31,0}=0,39$, les deux tiers de la limite : le reste se perd dans la traînée des pales, les tourbillons de bout de pale, la rotation du sillage et la chaîne électrique. À l'optimum, le débit d'air vaut $D_m=\rho S{v}_d=1,225\times 3,80\times 10^4\times 7,33=3,4\times 10^5\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$, la poussée $T=D_m(V-v_3)=3,4\times 10^5\times 7,33=2,5\mathrm{MN}$ (le poids de $255$ tonnes) et le saut de pression $\Delta P=T/S=66\mathrm{Pa}$ : moins d'un millième de la pression atmosphérique ($P^{+}-P_a=+41\mathrm{Pa}$, $P^{-}-P_a=-25\mathrm{Pa}$), mais sur près de quatre hectares.

Le profil des vitesses sur l'axe ci-dessus est d'allure (sa forme exacte entre les sections lointaines n'intervient pas) ; les pressions en découlent par la relation de Bernoulli, de part et d'autre du disque : la pression monte en amont, chute brutalement à la traversée du disque, puis remonte jusqu'à $P_a$ en aval à mesure que l'air ralentit encore. Le disque est bien un saut de pression, et la vitesse y est continue.

La puissance du vent croît comme $V^3$ : le débit d'air est proportionnel à $V$, et l'énergie cinétique de chaque kilogramme à $V^2$. Limite de Betz : $7,1\mathrm{MW}$ à $8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $13,8\mathrm{MW}$ à $10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $30,3\mathrm{MW}$ à $13\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : de $8$ à $13\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, la ressource est multipliée par plus de quatre. Au-delà de sa vitesse nominale, l'éolienne fait pivoter ses pales pour limiter la puissance à celle de sa génératrice, $12\mathrm{MW}$ : c'est pourquoi on installe les parcs là où le vent est fort et régulier, en mer. Derrière une éolienne, le sillage avance au tiers de la vitesse du vent à l'optimum : une seconde éolienne placée dedans ne recevrait que $(1/3{)}^3$, quelques pour cent, de la puissance. Le sillage ne se recharge en énergie qu'en se mélangeant à l'air environnant, sur de nombreux diamètres : d'où des parcs où les machines sont espacées de plusieurs diamètres de rotor. Enfin, $V/c=11/340=0,03$ : les variations relatives de masse volumique, de l'ordre de $(V/c{)}^2/2$, valent quelques $10^{-4}$, et le modèle incompressible est parfaitement justifié.

Le résultat obtenu — la limite de Betz. Un rotor, modélisé par un disque qui prélève de l'énergie au vent dans un tube de courant, ne peut extraire plus de $\frac{16}{27}\approx 59\%$ de la puissance cinétique $\frac{1}{2}\rho S{V}^3$ du vent qui traverse sa surface balayée. L'optimum est atteint quand le vent est ralenti au tiers de sa vitesse loin en aval, la vitesse dans le disque, moyenne des vitesses amont et aval, valant alors les deux tiers de $V$. Pour l'éolienne de $220\mathrm{m}$ dans un vent de $11\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $18,4\mathrm{MW}$ au plus, pour $12\mathrm{MW}$ réalisés, et une poussée de $2,5\mathrm{MN}$ sur le rotor.

Ce que l'exercice installe. Le chemin complet d'un problème de bilans : système fermé associé à un tube de courant, quantité de mouvement pour la force, relation de Bernoulli là où l'écoulement est parfait, et seulement là, énergie cinétique pour la puissance ; puis une optimisation à une variable, qui donne une limite que nulle technique ne franchit. Et la cohérence de deux bilans indépendants ($\mathcal{P}=T{v}_d$) comme vérification.