Problème — Modélisation par méthode d'Euler

1. L'équation différentielle est $\frac{\mathrm{d}[\mathrm{R}]}{\mathrm{d}t}=-k[\mathrm{R}]$, de solution

$$[\mathrm{R}](t)=[\mathrm{R}{]}_0{e}^{-kt}=1,00e^{-0,10t}.$$

1. Récurrence d'Euler $[\mathrm{R}{]}_{n+1}=[\mathrm{R}{]}_n(1-k\Delta t)$ avec $1-k\Delta t=0,90$ :

$$[\mathrm{R}{]}_1=1,00\times 0,90=0,900,$$

$$[\mathrm{R}{]}_2=0,900\times 0,90=0,810,$$

$$[\mathrm{R}{]}_3=0,810\times 0,90=0,729\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}.$$

1. Valeur exacte : $[\mathrm{R}](3)=e^{-0,30}\approx 0,741\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$. La méthode d'Euler sous-estime légèrement ($0,729$ contre $0,741$, écart $\approx 1,6\%$). En diminuant $\Delta t$ (par exemple $0,1\mathrm{s}$), l'erreur diminue et la courbe numérique se rapproche de l'exponentielle.

1. Temps de demi-réaction :

$$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}=\frac{0,693}{0,10}\approx 6,9\mathrm{s}.$$

Indépendant de $[\mathrm{R}{]}_0$, conformément à l'ordre 1.