La bille et le looping

La bille et le looping. Une bille de masse $m=50\mathrm{g}$, assimilée à un point, est lâchée sans vitesse du haut d'une rampe, à une hauteur $h$ au-dessus du point le plus bas $B$ d'une boucle circulaire verticale (un « looping ») de rayon $R=0,20\mathrm{m}$. Le sommet $S$ de la boucle est donc à la hauteur $2R$ au-dessus de $B$. On néglige tous les frottements et on prend $g=9,81\mathrm{N}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

• Faire le bilan des forces exercées sur la bille. Pourquoi la réaction du rail ne travaille-t-elle pas ?
• Par le théorème de l'énergie cinétique, exprimer la vitesse $v_S$ de la bille au sommet $S$ de la boucle en fonction de $g$, $h$ et $R$.
• Au point $S$, le poids et la réaction $\overrightarrow{N}$ du rail sont tous deux verticaux et dirigés vers le centre de la boucle. En appliquant la deuxième loi de Newton dans la base de Frenet, montrer que $N=m\left(\frac{v_S^2}{R}-g\right)$.
• La bille ne reste au contact du rail que si $N⩾0$. En déduire la hauteur minimale $h_{\min }$ de lâcher, en fonction de $R$, puis numériquement.
• On lâche la bille de $h=0,60\mathrm{m}$. Calculer $v_S$ et la valeur de la réaction du rail au sommet.