Le saut à l'élastique

Le saut à l'élastique. Un sauteur de masse $m=70\mathrm{kg}$ se laisse tomber sans vitesse initiale d'un pont. Il est attaché à un élastique de longueur à vide $L_0=20\mathrm{m}$, que l'on modélise par un ressort de raideur $k=120\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$ : l'élastique n'exerce aucune force tant que la chute est inférieure à $L_0$, puis il emmagasine l'énergie potentielle élastique $\frac{1}{2}k{x}^2$, où $x$ est son allongement. On néglige les frottements de l'air, on assimile le sauteur à un point et on prend $g=9,81\mathrm{N}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

• Calculer la vitesse du sauteur à l'instant où l'élastique commence à se tendre.
• Justifier que l'énergie mécanique du système \{sauteur + élastique\} se conserve. En prenant l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur au point le plus bas atteint, écrire cette conservation entre le départ et ce point le plus bas, où la vitesse est nulle et l'allongement vaut $x_{\max }$.
• En déduire l'équation du second degré vérifiée par $x_{\max }$, puis sa valeur et la hauteur totale de chute.
• La vitesse du sauteur est maximale lorsque son accélération s'annule, c'est-à-dire lorsque la tension de l'élastique compense exactement le poids. Calculer l'allongement $x_e$ correspondant, puis la vitesse maximale atteinte.