Problème — Étude énergétique d'un pendule

Exercice de TD · niveau 2 · physique-chimie (terminale), chapitre 10 — Aspects énergétiques du mouvement

Énoncé

Problème — Étude énergétique d'un pendule.

Un pendule simple est constitué d'une bille de masse $m = 0, 10 kg$ suspendue à un fil inextensible de longueur $ℓ = 0, 90 m$ . On écarte le fil d'un angle $θ_{0} = 6 0^{\circ}$ par rapport à la verticale, puis on lâche la bille sans vitesse. On néglige les frottements. On prend $g = 9, 81 N \cdot k g^{- 1}$ .

1. Exprimer la hauteur dont descend la bille entre la position de lâcher et le passage à la verticale (point le plus bas).<br> 2. Montrer que l'énergie mécanique se conserve et déterminer la vitesse de la bille au point le plus bas.<br> 3. Quelle est la vitesse de la bille lorsque le fil fait un angle $θ = 3 0^{\circ}$ avec la verticale ?

Corrigé

1. En prenant l'origine des altitudes au point le plus bas, l'altitude de la bille pour un angle $θ$ est $z = ℓ (1 - cos θ)$ . Pour $θ_{0} = 6 0^{\circ}$ :

$h = ℓ (1 - cos θ_{0}) = 0, 90 \times (1 - cos 6 0^{\circ}) = 0, 90 \times 0, 5 = 0, 45 m$

2. La bille est soumise à son poids (conservatif) et à la tension du fil. La tension est à chaque instant perpendiculaire au déplacement (le mouvement est circulaire), donc son travail est nul. Seul le poids travaille : l'énergie mécanique se conserve.

$\frac{1}{2} m v_{bas}^{2} = m g h \Rightarrow v_{bas} = 2 g h = 2 \times 9, 81 \times 0, 45 \approx 3, 0 m \cdot s^{- 1}$

3. Pour $θ = 3 0^{\circ}$ , l'altitude est $z = ℓ (1 - cos 3 0^{\circ}) = 0, 90 \times (1 - 0, 866) \approx 0, 121 m$ . La conservation de l'énergie mécanique entre le lâcher et cette position donne :

$\frac{1}{2} m v^{2} + m g z = m g h$

$v = 2 g (h - z) = 2 \times 9, 81 \times (0, 45 - 0, 121) \approx 2, 5 m \cdot s^{- 1}$

La vitesse est plus faible qu'au point le plus bas, car la bille n'a pas encore perdu toute son énergie potentielle.

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