Problème — Étude énergétique d'un pendule

1. En prenant l'origine des altitudes au point le plus bas, l'altitude de la bille pour un angle $\theta$ est $z=\ell (1-\cos \theta )$. Pour ${\theta }_0=60^{\circ }$ :

$$h=\ell (1-\cos {\theta }_0)=0,90\times (1-\cos 60^{\circ })=0,90\times 0,5=0,45\mathrm{m}$$

2. La bille est soumise à son poids (conservatif) et à la tension du fil. La tension est à chaque instant perpendiculaire au déplacement (le mouvement est circulaire), donc son travail est nul. Seul le poids travaille : l'énergie mécanique se conserve.

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{bas}}^2=mgh\Rightarrow v_{\text{bas}}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9,81\times 0,45}\approx 3,0\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

3. Pour $\theta =30^{\circ }$, l'altitude est $z=\ell (1-\cos 30^{\circ })=0,90\times (1-0,866)\approx 0,121\mathrm{m}$. La conservation de l'énergie mécanique entre le lâcher et cette position donne :

$$\frac{1}{2}m{v}^2+mgz=mgh$$

$$v=\sqrt{2g(h-z)}=\sqrt{2\times 9,81\times (0,45-0,121)}\approx 2,5\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

La vitesse est plus faible qu'au point le plus bas, car la bille n'a pas encore perdu toute son énergie potentielle.