Problème — Lanceur à ressort

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique-chimie (terminale), chapitre 10 — Aspects énergétiques du mouvement

Énoncé

Problème — Lanceur à ressort.

Dans un jeu, une bille d'acier de masse $m = 50 g$ est propulsée par un ressort de raideur $k = 400 N \cdot m^{- 1}$ . Le ressort, disposé le long d'une rampe inclinée de $β = 3 0^{\circ}$ , est comprimé de $x = 6, 0 cm$ puis relâché. La bille parcourt ensuite la rampe. On néglige d'abord les frottements. On prend $g = 9, 81 N \cdot k g^{- 1}$ .

1. Calculer l'énergie potentielle élastique initialement stockée.<br> 2. Déterminer la vitesse de la bille au moment où elle quitte le ressort.<br> 3. En réalité, une force de frottement constante $f = 0, 15 N$ agit le long de la rampe. Sur quelle distance $D$ (mesurée le long de la rampe à partir du point de décollage du ressort) la bille s'arrête-t-elle ?

Corrigé

$E_{p e} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \times 400 \times (0, 060)^{2} = 0, 72 J$

2. Pendant la détente du ressort (longueur $x$ le long de la rampe), la bille s'élève de $x sin β$ . Sans frottement, l'énergie élastique se convertit en énergie cinétique et potentielle de pesanteur :

$E_{p e} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g x sin β$

$m g x sin β = 0, 050 \times 9, 81 \times 0, 060 \times sin 3 0^{\circ} \approx 0, 0147 J$

$\frac{1}{2} m v^{2} = 0, 72 - 0, 0147 \approx 0, 705 J$

$v = \frac{2 \times 0 , 705}{0 , 050} \approx 5, 3 m \cdot s^{- 1}$

3. On applique un bilan énergétique global entre l'instant initial (ressort comprimé, bille au repos) et l'arrêt de la bille, en notant $D$ la distance parcourue le long de la rampe après le décollage du ressort. La bille monte au total d'une hauteur correspondant à la distance $(x + D)$ le long de la rampe, et les frottements agissent sur cette même distance :

$E_{p e} = m g (x + D) sin β + f (x + D)$

Cette équation traduit la conversion de toute l'énergie élastique en énergie potentielle de pesanteur et en chaleur (l'énergie cinétique finale étant nulle). On pose $s = x + D$ :

$s = \frac{E _{p e}}{m g sin β + f} = \frac{0 , 72}{0 , 050 \times 9 , 81 \times 0 , 5 + 0 , 15} = \frac{0 , 72}{0 , 2453 + 0 , 15} \approx 1, 82 m$

La distance après le décollage du ressort est donc :

$D = s - x = 1, 82 - 0, 060 \approx 1, 8 m$

Les frottements limitent fortement la distance parcourue par rapport au cas idéal sans dissipation.

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