physique-chimie (terminale) · Chapitre 11 · Exercice de TD

Problème — Modèle simplifié du bilan radiatif terrestre

Énergie interne et transferts thermiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Modèle simplifié du bilan radiatif terrestre.

On modélise la Terre comme un disque de rayon $R_{T}$ interceptant le rayonnement solaire et comme une sphère émettant un rayonnement infrarouge. La constante solaire est $C_{S} = 1, 36 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2}$ et l'albédo (fraction réfléchie) est $a = 0, 30$ . La puissance émise par unité de surface suit la loi $Φ_{e ˊ mis} / S = σ T^{4}$ avec $σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 4}$ .

Exprimer la puissance solaire absorbée par la Terre.
Exprimer la puissance totale émise par la sphère terrestre.
En écrivant le bilan radiatif à l'équilibre, déterminer la température moyenne $T_{e}$ de la Terre.
Comparer à la température réelle ( $\approx 1 5^{\circ} C$ ) et conclure sur le rôle de l'effet de serre.

Corrigé

La Terre intercepte le flux solaire sur sa section apparente $π R_{T}^{2}$ ; une fraction $a$ est réfléchie. La puissance absorbée est :

$P_{abs} = (1 - a) C_{S} π R_{T}^{2} .$

La sphère émet par toute sa surface $4 π R_{T}^{2}$ :

$P_{e ˊ mis} = σ T_{e}^{4} \times 4 π R_{T}^{2} .$

À l'équilibre $P_{abs} = P_{e ˊ mis}$ :

$(1 - a) C_{S} π R_{T}^{2} = 4 π R_{T}^{2} σ T_{e}^{4} ⟹ T_{e} = [\frac{( 1 - a ) C _{S}}{4 σ}]^{1/4} .$

Application numérique :

$T_{e} = [\frac{0 , 70 \times 1 , 36 \times 1 0 ^{3}}{4 \times 5 , 67 \times 1 0 ^{- 8}}]^{1/4} = [4, 20 \times 1 0^{9}]^{1/4} \approx 255 K \approx - 1 8^{\circ} C .$

La température calculée ( $- 1 8^{\circ} C$ ) est bien inférieure à la température réelle ( $+ 1 5^{\circ} C$ ). L'écart d'environ $33 K$ s'explique par l'effet de serre : l'atmosphère absorbe et renvoie vers le sol une partie du rayonnement infrarouge, réchauffant la surface au-delà de la valeur du modèle sans atmosphère.

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