physique-chimie (terminale) · Chapitre 11 · Exercice de TD

Refroidissement d'un café

Énergie interne et transferts thermiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Refroidissement d'un café.

Une tasse de café à $T_{0} = 7 5^{\circ} C$ est posée dans une pièce à $T_{ext} = 2 0^{\circ} C$ . On modélise son refroidissement par la loi de Newton avec une constante de temps $τ = 12 min$ .

Donner l'expression de $T (t)$ .
Quelle est la température après $10 min$ ?
Au bout de combien de temps la température atteint-elle $4 0^{\circ} C$ ?

Corrigé

$T (t) = T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ} = 20 + 55 e^{- t /12}$ ( $t$ en min).
Pour $t = 10 min$ : $T = 20 + 55 e^{- 10/12} = 20 + 55 \times 0, 435 \approx 4 4^{\circ} C$ .
On résout $40 = 20 + 55 e^{- t /12}$ , soit $e^{- t /12} = \frac{20}{55} = 0, 364$ , d'où

$t = - 12 ln (0, 364) \approx 12 \times 1, 01 \approx 12 min .$

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