Un modèle d'effet de serre à une couche

Un modèle d'effet de serre à une couche. On modélise l'atmosphère par une couche unique, transparente au rayonnement solaire mais qui absorbe tout le rayonnement infrarouge émis par le sol. Cette couche, à la température $T_a$, émet un rayonnement infrarouge pour moitié vers l'espace et pour moitié vers le sol, chaque moitié ayant une puissance surfacique $\sigma T_a^4$. Le sol, à la température $T_s$, émet la puissance surfacique $\sigma T_s^4$ (loi de Stefan--Boltzmann, admise).

Données : puissance solaire moyenne absorbée par le sol, par unité de surface et en tenant compte de l'albédo, $p=\frac{C_S(1-a)}{4}$ avec $C_S=1,36\times 10^3\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$ et $a=0,30$ ; $\sigma =5,67\times 10^{-8}\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{K}}^{-4}$.

• Calculer $p$.
• Sans atmosphère, le sol émettrait directement vers l'espace. Écrire son bilan radiatif et calculer sa température $T_e$.
• Avec la couche atmosphérique, écrire le bilan radiatif de la couche (puissance reçue du sol $=$ puissance émise par ses deux faces), puis le bilan radiatif du sol.
• En déduire que $\sigma T_a^4=p$ et $\sigma T_s^4=2p$, puis calculer $T_a$ et $T_s$ (en kelvins et en degrés Celsius).
• La température moyenne réelle du sol est d'environ $15^{\circ }\mathrm{C}$. Le modèle surestime-t-il ou sous-estime-t-il l'effet de serre ? Proposer une explication.