Objet et écran fixes : deux positions de la lentille

Objet et écran fixes : deux positions de la lentille. Un objet $AB$ et un écran sont fixés à une distance $D=1,00\mathrm{m}$ l'un de l'autre. Entre eux, on déplace une lentille convergente de distance focale $f^{\prime }=20\mathrm{cm}$. On note $p$ la distance de l'objet à la lentille, de sorte que $\overline{OA}=-p$ et $\overline{O{A}^{\prime }}=D-p$ lorsque l'image se forme sur l'écran.

• À l'aide de la relation de conjugaison, montrer que $p$ vérifie l'équation $p^2-Dp+f^{\prime }D=0$.
• Montrer qu'une image nette ne peut être obtenue sur l'écran que si $D⩾4f^{\prime }$. La condition est-elle vérifiée ici ?
• Calculer les deux positions $p_1<p_2$ de la lentille donnant une image nette, puis la distance entre ces deux positions.
• Calculer le grandissement dans chacun des deux cas. Calculer le produit des deux grandissements et commenter.