Problème — Accommodation et presbytie

1. L'objet réel est à gauche de la lentille : $\overline{OA}=-25,0\mathrm{cm}=-250\mathrm{mm}$, et l'image se forme sur la rétine, $\overline{O{A}^{\prime }}=+17,0\mathrm{mm}$. La relation de conjugaison donne :

$$\frac{1}{f^{\prime }}=\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{17,0}+\frac{1}{250}=6,282\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}$$

$$f^{\prime }=15,9\mathrm{mm}$$

La distance focale est plus courte que la distance cristallin--rétine : le cristallin s'est bombé.

2. La vergence est l'inverse de la distance focale exprimée en mètres ; comme $1\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}=10^3{\mathrm{m}}^{-1}$, il suffit de multiplier par $10^3$ le résultat de la question précédente :

$$C_P=\frac{1}{f^{\prime }}=6,282\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}=62,8{\mathrm{m}}^{-1}=62,8\delta$$

3. Le grandissement vaut :

$$\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=\frac{17,0}{-250}=-0,068$$

La taille de l'image est $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\gamma \times \overline{AB}=-0,068\times 4,0=-0,27\mathrm{mm}$. L'image mesure $0,27\mathrm{mm}$ sur la rétine et elle est renversée ($\gamma <0$) ; c'est le cerveau qui la redresse.

4. Même calcul avec $\overline{OA}=-1,00\mathrm{m}=-1000\mathrm{mm}$ :

$$\frac{1}{f^{\prime }}=\frac{1}{17,0}+\frac{1}{1000}=5,982\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}⟹f^{\prime }=16,7\mathrm{mm}$$

$$C_P^{\prime }=5,982\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1}=59,8\delta$$

5. À $20$ ans : $C_P-C_{\text{repos}}=62,8-58,8=4,0\delta$. À $50$ ans : $C_P^{\prime }-C_{\text{repos}}=59,8-58,8=1,0\delta$. L'amplitude d'accommodation a été divisée par quatre : le cristallin, devenu moins souple, ne peut plus augmenter suffisamment sa vergence. C'est la presbytie, que l'on corrige par des verres convergents qui suppléent le cristallin pour la vision de près.