Problème — Accommodation et presbytie

Application directe du cours · niveau 1 (application) · physique-chimie (terminale), chapitre 12 — Lentilles minces et lunette astronomique

Énoncé

Problème — Accommodation et presbytie.

Un ophtalmologue modélise l'œil d'un patient par un œil réduit : une lentille mince convergente (cornée + cristallin) placée à $O A^{'} = 17, 0 mm$ de la rétine, sur laquelle l'image doit toujours se former. Au repos, la vergence de cet œil vaut $C_{repos} = 58, 8 δ$ .

À $20$ ans, le patient lit un texte placé à son punctum proximum, soit $25, 0 cm$ devant l'œil.

Calculer la distance focale $f^{'}$ que doit prendre le cristallin pour que l'image de ce texte se forme sur la rétine.
En déduire la vergence $C_{P}$ de l'œil dans cette situation.
Calculer le grandissement, puis la taille de l'image d'une lettre haute de $4, 0 mm$ . Préciser le sens de cette image.
Trente ans plus tard, le punctum proximum du patient s'est éloigné à $1, 00 m$ . Calculer la nouvelle vergence maximale $C_{P}^{'}$ de son œil.
L'amplitude d'accommodation est l'écart entre la vergence maximale et la vergence au repos. Calculer sa valeur aux deux âges et conclure.

Corrigé

1. L'objet réel est à gauche de la lentille : $O A = - 25, 0 cm = - 250 mm$ , et l'image se forme sur la rétine, $O A^{'} = + 17, 0 mm$ . La relation de conjugaison donne :

$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{17 , 0} + \frac{1}{250} = 6, 282 \times 1 0^{- 2} m m^{- 1}$

$f^{'} = 15, 9 mm$

La distance focale est plus courte que la distance cristallin--rétine : le cristallin s'est bombé.

2. La vergence est l'inverse de la distance focale exprimée en mètres ; comme $1 m m^{- 1} = 1 0^{3} m^{- 1}$ , il suffit de multiplier par $1 0^{3}$ le résultat de la question précédente :

$C_{P} = \frac{1}{f ^{'}} = 6, 282 \times 1 0^{- 2} m m^{- 1} = 62, 8 m^{- 1} = 62, 8 δ$

3. Le grandissement vaut :

$γ = \frac{O A ^{'}}{O A} = \frac{17 , 0}{- 250} = - 0, 068$

La taille de l'image est $A^{'} B^{'} = γ \times A B = - 0, 068 \times 4, 0 = - 0, 27 mm$ . L'image mesure $0, 27 mm$ sur la rétine et elle est renversée ( $γ < 0$ ) ; c'est le cerveau qui la redresse.

4. Même calcul avec $O A = - 1, 00 m = - 1000 mm$ :

$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{17 , 0} + \frac{1}{1000} = 5, 982 \times 1 0^{- 2} m m^{- 1} ⟹ f^{'} = 16, 7 mm$

$C_{P}^{'} = 5, 982 \times 1 0^{- 2} m m^{- 1} = 59, 8 δ$

5. À $20$ ans : $C_{P} - C_{repos} = 62, 8 - 58, 8 = 4, 0 δ$ . À $50$ ans : $C_{P}^{'} - C_{repos} = 59, 8 - 58, 8 = 1, 0 δ$ . L'amplitude d'accommodation a été divisée par quatre : le cristallin, devenu moins souple, ne peut plus augmenter suffisamment sa vergence. C'est la presbytie, que l'on corrige par des verres convergents qui suppléent le cristallin pour la vision de près.

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