Problème — Image intermédiaire dans une lunette

Lentilles minces et lunette astronomique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Image intermédiaire dans une lunette.

Une lunette afocale a pour objectif une lentille $L_{1}$ de distance focale $f_{1}^{'} = 80 cm$ et pour oculaire une lentille $L_{2}$ de distance focale $f_{2}^{'} = 4, 0 cm$ . On observe une étoile assimilée à un objet ponctuel à l'infini, mais légèrement hors axe, vue sous un angle $θ = 0, 3 0^{\circ}$ à l'œil nu.

Où se forme l'image intermédiaire $A_{1} B_{1}$ donnée par l'objectif ?
Justifier que cette image sert d'objet « à distance focale » pour l'oculaire.
Calculer la taille de l'image intermédiaire (on prendra $tan θ \approx θ$ en radian).
Calculer le grossissement et l'angle $θ^{'}$ .

Corrigé

1. L'objet étant à l'infini, l'image intermédiaire se forme dans le plan focal image de l'objectif, au foyer $F_{1}^{'}$ , à $80 cm$ derrière $L_{1}$ .

2. La lunette étant afocale, $F_{1}^{'} = F_{2}$ : l'image intermédiaire se trouve dans le plan focal objet de l'oculaire. L'oculaire en donne donc une image définitive à l'infini, observable sans accommoder.

3. L'objet étant hors axe d'un angle $θ = 0, 3 0^{\circ} = 0, 30 \times \frac{π}{180} \approx 5, 24 \times 1 0^{- 3} rad$ . La taille de l'image intermédiaire vaut :

$A_{1} B_{1} = f_{1}^{'} \times tan θ \approx 80 \times 5, 24 \times 1 0^{- 3} \approx 0, 42 cm$

4. Le grossissement :

$G = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} = \frac{80}{4 , 0} = 20$

L'angle de sortie : $θ^{'} = G \times θ = 20 \times 0, 30 = 6, 0^{\circ}$ .