Problème — Étude complète d'une figure de diffraction

Phénomènes ondulatoires, lumière et photons · niveau 2

Énoncé

Problème — Étude complète d'une figure de diffraction.

Un laser de longueur d'onde inconnue éclaire un fil. On dispose d'un écran à $D = 2, 00 m$ .

Pour un fil de diamètre $a_{1} = 0, 12 mm$ , on mesure une largeur totale de tache centrale $2 L_{1} = 2, 1 cm$ . Déterminer la longueur d'onde $λ$ .
On remplace le fil par un cheveu, et la largeur de la tache centrale devient $2 L_{2} = 1, 4 cm$ . Déterminer le diamètre $a_{2}$ du cheveu.
Justifier que la diffraction permet ici une mesure fiable de dimensions microscopiques.

Corrigé

1. De $2 L = \frac{2 λ D}{a}$ on tire $λ = \frac{a _{1} L _{1}}{D} = \frac{a _{1} \times ( 2 L _{1} )}{2 D}$ :

$λ = \frac{0 , 12 \times 1 0 ^{- 3} \times 2 , 1 \times 1 0 ^{- 2}}{2 \times 2 , 00} \approx 6, 3 \times 1 0^{- 7} m = 6, 3 \times 1 0^{2} nm .$

La longueur d'onde est d'environ $630 nm$ : laser rouge.

2. À longueur d'onde et distance fixées, $a \times (2 L)$ est constant, donc $a_{2} = a_{1} \times \frac{2 L _{1}}{2 L _{2}}$ :

$a_{2} = 0, 12 \times 1 0^{- 3} \times \frac{2 , 1}{1 , 4} = 0, 18 \times 1 0^{- 3} m = 0, 18 mm = 180 μ m .$

Cette valeur est cohérente avec le diamètre d'un cheveu.

3. La largeur de la tache centrale (quelques centimètres) est facilement mesurable, alors que la dimension à mesurer est de l'ordre du dixième de millimètre. Le phénomène réalise une « amplification » d'un facteur $\frac{2 L}{a} = \frac{2 D}{a} \cdot λ / λ$ ... plus précisément $\frac{2 L}{a} = \frac{2 λ D}{a ^{2}}$ , ce qui donne ici un rapport de l'ordre de $1 0^{2}$ , rendant la mesure précise et accessible.