Problème — Fentes de Young avec deux radiations

Phénomènes ondulatoires, lumière et photons · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Fentes de Young avec deux radiations.

Un dispositif de Young ( $b = 0, 25 mm$ , $D = 1, 80 m$ ) est éclairé par une lumière contenant deux radiations : $λ_{R} = 640 nm$ (rouge) et $λ_{B} = 480 nm$ (bleu).

Calculer les interfranges $i_{R}$ et $i_{B}$ .
À quelle distance du centre les franges brillantes des deux radiations coïncident-elles pour la première fois (hors centre) ?

Corrigé

1. Avec $i = \frac{λ D}{b}$ :

$i_{R} = \frac{640 \times 1 0 ^{- 9} \times 1 , 80}{0 , 25 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 4, 61 \times 1 0^{- 3} m = 4, 61 mm,$

$i_{B} = \frac{480 \times 1 0 ^{- 9} \times 1 , 80}{0 , 25 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 3, 46 \times 1 0^{- 3} m = 3, 46 mm .$

2. Les franges brillantes sont aux positions $x_{R} = k_{R} i_{R}$ et $x_{B} = k_{B} i_{B}$ . La coïncidence exige $k_{R} i_{R} = k_{B} i_{B}$ , soit

$\frac{k _{R}}{k _{B}} = \frac{i _{B}}{i _{R}} = \frac{λ _{B}}{λ _{R}} = \frac{480}{640} = \frac{3}{4} .$

La première solution entière est $k_{R} = 3$ , $k_{B} = 4$ . La position de coïncidence vaut

$x = 3 i_{R} = 3 \times 4, 61 \approx 13, 8 mm (= 4 i_{B} = 4 \times 3, 46 \approx 13, 8 mm) .$

Les franges brillantes se superposent à $13, 8 mm$ du centre.