Capteur capacitif de niveau dans une cuve

Exercice de TD · niveau 2 · physique-chimie (terminale), chapitre 14 — Le circuit RC

Énoncé

Capteur capacitif de niveau dans une cuve.

Deux électrodes verticales plongent sur toute la hauteur $H = 60 cm$ d'une cuve : elles forment un condensateur dont la capacité dépend du niveau de liquide. Un microcontrôleur charge ce condensateur à travers $R = 100 kΩ$ sous un échelon de tension $E$ , et chronomètre la durée $t$ au bout de laquelle $u_{C}$ atteint $0, 63 E$ . Cuve vide, il relève $t = 1, 5 ms$ ; cuve pleine, $t = 4, 2 ms$ .

Justifier que la durée chronométrée est la constante de temps $τ$ , puis calculer la capacité du capteur cuve vide, puis cuve pleine.
Expliquer qualitativement pourquoi la capacité augmente lorsque le liquide monte.
Un relevé donne $t = 2, 4 ms$ . En admettant que la capacité croît linéairement avec la hauteur $h$ de liquide, de $C_{vide}$ pour $h = 0$ à $C_{pleine}$ pour $h = H$ , déterminer le niveau de liquide dans la cuve.

Corrigé

1. En charge, $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ ; à $t = τ$ , $u_{C} = E (1 - e^{- 1}) \approx 0, 63 E$ . L'instant où la tension atteint $63%$ de sa valeur finale est donc précisément $τ$ : le microcontrôleur mesure bien la constante de temps. Comme $τ = R C$ , on en déduit $C = \frac{τ}{R}$ :

$C_{vide} = \frac{1 , 5 \times 1 0 ^{- 3}}{100 \times 1 0 ^{3}} = 1, 5 \times 1 0^{- 8} F = 15 nF, C_{pleine} = \frac{4 , 2 \times 1 0 ^{- 3}}{100 \times 1 0 ^{3}} = 4, 2 \times 1 0^{- 8} F = 42 nF .$

2. La capacité dépend du milieu isolant séparant les armatures. En montant, le liquide remplace l'air entre les électrodes ; il est bien plus polarisable que l'air (sa permittivité est nettement plus élevée), ce qui augmente la capacité du condensateur formé par les deux électrodes. Mesurer $τ$ , c'est donc mesurer le niveau, sans aucune pièce mobile.

3. Le relevé correspond à

$C = \frac{2 , 4 \times 1 0 ^{- 3}}{100 \times 1 0 ^{3}} = 2, 4 \times 1 0^{- 8} F = 24 nF .$

La croissance étant linéaire, $C = C_{vide} + (C_{pleine} - C_{vide}) \frac{h}{H}$ , d'où la proportion de hauteur remplie :

$\frac{h}{H} = \frac{C - C _{vide}}{C _{pleine} - C _{vide}} = \frac{24 - 15}{42 - 15} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3},$

d'où $h = \frac{1}{3} \times 60 = 20 cm$ : la cuve est remplie au tiers.

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