La minuterie d'escalier

La minuterie d'escalier. Dans une minuterie, un appui sur le bouton charge presque instantanément un condensateur de capacité $C=1000\mu \mathrm{F}$ sous $E=12\mathrm{V}$, à travers une résistance $r=10\mathrm{\Omega }$. Dès que le bouton est relâché, le condensateur se décharge dans une résistance $R$. Un circuit électronique, qui ne prélève aucun courant, maintient la lumière allumée tant que $u_C⩾u_s=4,0\mathrm{V}$.

• Calculer la constante de temps de la charge. Justifier le terme « presque instantanément ».
• Donner l'expression de $u_C(t)$ pendant la décharge, l'origine des temps étant prise au relâchement du bouton.
• Montrer que la lumière reste allumée pendant la durée $\Delta t=\tau \ln \left(\frac{E}{u_s}\right)$, avec $\tau =RC$.
• Quelle valeur faut-il donner à $R$ pour que la lumière reste allumée $\Delta t=60\mathrm{s}$ ?