Le partage de la tension et de la puissance pendant la charge

Le partage de la tension et de la puissance pendant la charge. Un condensateur de capacité $C=100\mu \mathrm{F}$, initialement déchargé, est chargé à travers une résistance $R=10\mathrm{k\Omega }$ sous un échelon de tension $E=10\mathrm{V}$ appliqué à $t=0$.

• Calculer la constante de temps $\tau$.
• Rappeler l'expression de $u_C(t)$. À l'aide de la loi des mailles, en déduire l'expression de la tension $u_R(t)$ aux bornes de la résistance.
• Déterminer l'instant $t^{\star }$ où $u_R=u_C$, en fonction de $\tau$, puis numériquement.
• Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur à l'instant $t^{\star }$ et la comparer à l'énergie finale.
• La puissance reçue par le condensateur est $p(t)=u_C(t)i(t)$. En posant $x=e^{-t/\tau }$, montrer que $p=\frac{E^2}{R}x(1-x)$. En déduire que $p$ est maximale à l'instant $t^{\star }$ et calculer cette puissance maximale.